La considération des dérivées successives de
cos am a: , A am a;
conduit à des résultats analogues , mais qui offrent encore une application du théorème I.
Soit /■(a;) = co8ama;: en introduisant encore la quantité 0 = A; sin^ am a; , les dérivées d'ordre pair se présentent sous la forme suivante
f =008 ama;[ao],
/■" ^= CO8 am X [ai -\-h^z\,
/■<^) ^ C09 am a; [a2 + 62 ■^ + ^ï ■^^l •
/■(S) = cos am x\a.^-\-ho,z-\- C3 ^ -|" ^^ ^T >
et il est clair que
cos am X
Le théorème de Taylor donne ensuite
I [cos am {x + y)-\- cos am (x — y)'] = f + f" ^-^ + f *' j-g^l +
ou bien, en introduisant les valeurs (15), (16) . . . 1^ [cos am (a; 4- «/) + cos am (a; — î/)]
= cos am X
4" 2 cos am X
'il. 2 "^"2 1.2. 3. 4"'"
+ z^ cos am x
D'autre part , les formules d'addition donnent
\ [cos am (x-\-y)-\- cos am {x — y)]
cos am X cos am y
1 — k^ sin2 am x sin^ am y
= cos am xcosSiïay[\ -{-kz sin^ a.my -\-k" z" sin* am j/ + • • •]
La comparaison avec (16) montre que
cos am 2/ = a, + a, ^'^ + a., ^ /^ , + .
]k sin2 am y cos &my= b, ^^ + b.^ ^ - ^^ 3 4 +
[A^sin* am y cos am 2/ =
On voit par là que le second membre de la formule (16) peut s'écrire
^ii%+^-^r:2T3.4 + -
"^.273.4 et le premier membre est égal à
27e 1 7277(27.) t(^ + y^"" + i^-yfl La comparaison de ces deux expressions conduit à la relation
ai +!c = aiak-{-bi bit -\- Ci Ck -{-... , ou , ce qui revient au même ,
<18' • • • ^^2^ «i + *XiXA = [aoXo + aiXi + a,,X,, + ...]2 " ' + [61X1 + 63X2 + ...J
9, La considération des dérivées d'ordre impair de f= cos am x va nous donner une formule analogue. On trouve que ces dérivées se présentent sous la forme suivante
/■' = sin am a; A am X [a{] ,
/jg\ ; /■'" = sin am a; A am a; [«2 -f ^2 ■*] >
/'*^'= sin am a; A am a; [og + 6., ^ + Cg 32] ,
II est à remarquer que a^, a.2, a.^, ... ont ici les mêmes valeurs que dans les formules (15), mais il n'en est pas de même des 6,, c,-, .... Cette remarque est à peu près évidente , car si l'on prend encore aQ=l, on tire des formules (19) le développement
cos am X ■
La formule de Taylor donne
ttnX
Zn
yb
Hcosam(x + 2/)-cosam(x-2/)]==r -?[ +r' j^|73+/^''''ï72-;%;4:5+ et, si l'on introduit les valeurs (19), (20) . I [cos am {x-\-y) — cos am {x — y)]
= sin am a; A am a;
«it+«2r.-2T3 +
-f- s sin am a; A am a;
hi.2.3 ' ^n
yb
f- z- sin
am a; A am a;
or on a
^ [cos am (a; + 2/) — cos am {x — y)']
sin am a; A am a; sin am 2/ A am 3/
i — Â^ sin'^ am x sin'-^ am y
= — sin ara x Aama;sinamy Aara3/[l-}-^2Sin^amy + A^02sin*amy4-'"] donc, par comparaison avec (20),
am ^ A am 2/ = ai -^ + a.^ yT^^'Z + "^ rr273T475 + ' ' ' •
sin i
- k sin^ am 2/ A am 3/ ^ I — A2 sin^ am 2/ A am 1/ =
+ ft;
Le second membre de la formule (20) s'écrit donc
ofi
yd
yô
'1.2.3.4.5"^ tandis que le premier membre est
On en conclut
— ai+k+i = ai+iak + i -{-bi+ibk + i -JrCi+iCk + i + . . ou encore
(22) . — 2S «'<+ft + iXiX& = [aiXo + ff2Xi + a3X2 + ...]2
Les décompositions en carrés données par les formules (18) et (22) permettent maintenant d'écrire immédiatement la fraction continuer, qui résulte de la série
X X^ Ot^
En changeant légèrement les notations , nous écrivons le résultat final ainsi : soit
C08ama; = ^o-^,j^^2 + ^2ï;2^74--- "
alors la série (divergente)
qui provient de l'intégrale
/QO e--'''co8a,mz de,
donne la fraction continue (convergente) (23) ^,
Et une analyse toute semblable conduit encore à ce résultat que, si Ion écrit
A am X = j'o — j'i ^-^ + J'2 i" 2 . 3~4 ~ • • • '
la série (divei'gente)
le Zi j Z2 a; o^~^ 0?
qui provient de l'intégrale
donne la fraction continue (convergente)
^'^x^r , (2w — ly-^A^
La démonstration que ces fractions continues convergentes représentent effectivement les intégrales dépend de considérations toutes différentes que nous nous réservons de développer dans un autre Mémoire.
(Bul. Sci. math., Paris, sér. 2, 13, 1889, 170- 172.)
Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite.
Permettez-moi de vous présenter une remarque que m'a suggérée votre résultat
/ b arc CO8
/oo /«OO . l 2Va\
Va
Elle consiste en ce que l'angle
95 = arccos(~=), 0039? = —=, \yacj Vac
qui y figure et qui est compris entre 0 et :t;, est précisément l'angle qu'on rencontre en représentant géométriquement la forme positive ax^ -\- 2bxy -\- cy'^.
Cette remarque m'a conduit à une autre démonstration de votre résultat. Soient (Fig. 1) OU, OV deux axes coordonnées comprenant l'angle q> ,
Fig. 1.
\if,>'.
OA
=xyà
OB
= yVc
202 EXTRAIT d'une LETTRE ADRESSÉE A M. HERMITE.
les coordonnées d'un point P ; on aura
OF^ = ax^-\- 2b xy + cy"et , par suite ,
En multipliant par siïKp, sïiKpdudv est l'élément de l'aire plane égale k da; donc
jVac ain (p= I fe-^^da,
l'intégration s'étendant sur l'aire infinie correspondant aux valeurs positives de u et de v.
En introduisant des coordonnées polaires , on aura
do^r dr dO,
jVacsmq} = dO re-'"' dr = \(p,
Cette méthode s'applique avec la même facilité au cas de trois variables
/ / e-'*'dxdy dz,
0 0 "o y) = aa?-\-by'^-\-cz^-\-2aiyz-\-2biZX-\- 2c^xy.
Déterminons d'abord trois angles a, ^, y compris entre 0 et n, par les relations
cosa = Y-^. cos/? = r7i=> coay = j-,L=- Vbc Vca vab
Il est alors possible de construire un trièdre OUVW (Fig. 2) tel, que . VOW = a,
W0U = |8, UOV = y,
EXTRAIT d'une LETTRE ADRESSÉE A M. HERMITE. Fig. 2,
et SI
u = xVa, v = yVb, w = zVc
sont les coordonnées d'un point P, on a
donc
jVabc=f f f" e-'i'dudvd
Mais l'élément de volume de l'espace est
da = k du dv dw, k étant un facteur constant de valeur connue, donc
ikVabc=( f le-'fda.
Introduisons d'autres variables et déterminons la position du point P par 0 P = r et par la position du point V■^ sur la sphère de rayon 1 dont 0 est le centre (Fig. 3).
204 EXTRAIT d'une LETTRE ADRESSÉE A M. HERMITE.
Il n'est pas nécessaire de spécifier la nature des coordonnées à introduire pour déterminer la position de Pj ; toujours on aura
da=-r^dQ X dr,
Q étant l'élément de l'aire de la surface de la sphère ; donc
J kVabc= f dQ l" t-^' r-' dr = S X iV^,
S = / de étant l'aire du triangle sphérique ABC dont les côtés sont a, fi, y. En écrivant au lieu de k sa valeur, il vient
J = — Vr=- . D= Cl b «1
4KD
a Cl bi Cl b «1
fcj «1 c
(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 8, 1889, 472 — 478.)
Sur un passage de la théorie analytique de la chaleur.
La méthode suivie par Fourier pour obtenir le développement
(A) . . . 1 =a cosa; -j- ^cos;:Sa; -|- ccos 5.x -|- ^^^s 7a; -|- . . .
est très belle, mais elle manque absolument de rigueur, et l'on peut même s'étonner, au premier abord, qu'un tel procédé puisse conduire à un résultat exact.
Fourier pose x = 0 dans l'équation (A) et dans celles qu'on en déduit par des différentiations successives. Il obtient ainsi les relations
1 =a+ 6+ c+ d + ..., 0 = a4-326-|-52c + 72d4-..., 0:- = a + 3*6 + 5*c + 7*rf4-..., 0 = a -I- 3«6 -f 56c -f 7«d + . . . ,
n de ces équations lui fournissent les n premiers coefficients en annulant tous ceux qui suivent, et, en prenant ensuite n=:oo, on constate que les valeurs obtenues pour a, b, c, d, ... tendent vers des limites déterminées.
C'est ainsi qu'il obtient le résultat cherché
=rcosa; — ,, cos3,T+ r cosôa; — ^ cos 7a; + • - • • 4 3 5 /
Nous nous proposons dé'tudier de plus près cette méthode.
1. Il est clair que la détermination des a, b, c, d, ... d'après Fourier revient à ceci :
Déterminer les coefficients a^, a„, . . . , a» de manière que le développement de
ç)„(a;) = Oi cosx -\- a2Cos3 X -^ . . . -\- a„cos{2n — \)x soit de cette forme
Pour obtenir q)„ {x) et en même temps une expression simple de 1 — (p„ (x), nous remarquons que l'identité
(2i8ina;)2"-i = (e''^ — e-'^)2»-i donne facilement , en développant le second membre ,
(8ina;)2»-i = A„
n — 1 . „ , (n-l)(w — 2) . . 8in X — - -. , SU) 3 a; + ) — , -tH — r -ni sin 5 a; — n-\- \ ' (w + 1) (w + 2)
An —
sin 7x -\-
On en conclut
/ (sin x)^"- M 03 =
1 « — 1 o I 1 (n — l)(n — 2) . = B„ — A„|cos a; — -s- itt-^ cos 3a; + -- )—r-^, — r^ié. cos 5a; —
\5„-j (sina;) «^- 3 . 5 . 7 . . . (2n- 1)
Or il est clair que le développement de
/ (siaxf""^ dx '0 commence par un terme en x^": donc on a nécessairement
cos a; — -77 — 1—1 coa 3 a; -4- 3 n 4- 1
+ -^ -, — . -, ' — ^1— S-' cos 5a; ■
5 (n + l)(n + 2) 1 -(p„(x)=r{Bmx)^''-^dx:f (sina;)^'— ^da;,
Fourier n'a pas donné explicitement l'expression de (pn(x), mais on peut la déduire facilement de ses formules et constater l'identité avec la formule (3). On a notamment
An SKb\7^...(2n — lf
et il est facile de conclure , d'après la formule de Wallis , (6) lim^ = ^.
2. Supposons que x soit compris entre ± ^ (sans atteindre une de ces limites), la formule (4) permettra facilement de conclure
lim[l— 99„(a;)] = 0, n = oo.
En effet, soit
il est clair que
et
donc
C„=r(8ina;)2»-idx,
Cm + 1 < C„8in2x
R - 2n ^ ^» + i-2n--fi^'"
l — (pn + l(x) C„ + i . C„ / 1 \ . o
i-<Pn{xr-B;:+, ■ B„<v + 2„)«"^'^'
A étant un nombre fixe compris entre sin2 a; et 1 , le rapport
sera donc constamment inférieur à A à partir d'une valeur suffisamment grande de n, d'où l'on conclut
(6) ]im[l— 9?„(a;)] = 0, n = 00 .
On verra de la même façon que
^7) lim J- /"(gina;)2n-i<ia; = 0.
Or on a
AnJ An \ 8 w+ 1
et
,. Bn Tï
Donc , pour achever la démonstration de la formule
— z= cos X jr cos 3x-\- -^ cos 5x — ...
il suffira de faire voir qu'en posant
S = cos a; — -, cos 3a; + cos 5a; — ....
S' = cos X r — r , cos 3a; 4- v r — 1,\ r -r ô cos 5a; — ... ,
on a
lim(S — S') = 0, n = oo.
