Remarquons d'abord qu'en écrivant

S' = Oj cos X — ^3 cos 3a; -f- «s cos 5a; — ... , les coefficients Oj, a,, «5, ... sont positifs et vont en diminuant. Soit, m étant un entier impair,

Rm= cosmx ,— ACOs(m '4- 2)a;+ . . . ± - , .^y cos(to -\-2k)x,

B!m = am cosmx — am+2 cos (m -j- 2) a; + . . . ± Om+^k cos (m -\- 2k) x.

On aura

2 R'm cos X =: Om COS (m — ^) X -\- (Om — flm + 2) C08 (w -\- \) X —

— (am+2 — Om + i) ces {m -\- 3) X

T(û'm+2ft -2 — «m +2 a) COS (»i + 2A;— l)a; ±am+2/i;COs(w4-2A:+ 1).t;

d'où l'on conclut qu'en valeur absolue

\2Ein cos X \< Om -\- (Om — «m + 2) +

+ (am + 2 — Clm + i) + • . • 4" (flin + 2A-2 — am + 2k) + (1m+2k,

dm ^ 1

cos X m cos X

et de la même façon

(9) iRmK— ^^

m COS X Cette dernière relation montre que la série S est convergente.

4. Cela étant, soit s un nombre positif donné aussi petit qu'on voudra. Il faut montrer qu'il est possible de trouver un entier N tel que, pour

on ait toujours

Il est bien entendu qu'on suppose que x a une valeur fixe comprise

entre ± -„■•

Voici comment on peut trouver ce nombre N. Décomposons d'abord d'une manière quelconque e en deux parties également positives:

et prenons un nombre entier impair m tel que

e" COS X

En écrivant alors

S = cos a; — ., cos 3 a; + ... ± cos (m — 2)x + 'R„,

S' = ai cos . -c — «3 cos 3 a; + ... ± 0^-2 cos (m — 2) a; ± E^, on aura, d'après les limitations (8) et (9),

I Rm l< 2 ^"' \Kn\<~ b".

D'autre part, en faisant croître indéfiniment l'entier n, l'expression

tti cos a; — ag cos Sx -j- • • ± Om -2 cos {m — 2) a; II 14

tend vers

cos a; — -s- cos 3 a; + . . . ± 5 cos [m — 2) x.

On peut donc déterminer un entier N tel que, pour

la différence de ces deux expressions soit inférieure à «', et il est visible que, pour ces valeurs de w, on aura

La formule

— = C03 a; ^ cos 3 a; + -. cos 5 a; — ...

est ainsi démontrée rigoureusement; il faut supposer x compris entre