On peut obtenir d'une façon analogue le développement

-- a; = -s- sin 2a; sin 4a; -f- -^ sin 6a; — . . .

On déterminera d'abord une expression

^„ {x) = Oi sin 2a; + «2 sin 4a; + . . . + «n sin 2na;,

par la condition que le développement de ^„ {x) soit de cette forme

On obtient immédiatement la valeur de *„ (a;) en remarquant que

^« (a;) — X ne peut différer que par un facteur constant de

f (sina;)2"da;,

et la suite du raisonnement est tout à fait semblable à ce que nous venons d'exposer en détail.

(J. Math., Paris, sér. 4, 5, 1889, 425—444)

Sur le développement de log r (a).

Le but principal de ce travail est de donner une nouvelle déduction de la forinule (formule de Stirling)

log r (a) = (a +

l)loëa — a -{-^]og {2 Ji) +

Bo

et de faire ressortir que le second membre représente asymptotiquement la valeur de logr(a) (dans un sens que nous préciserons plus loin), même dans le cas où la valeur de a est imaginaire, la partie réelle de a étant négative.

Les intégrales définies que l'on a jusqu'ici introduites dans cette théorie présentent toutes cette particularité qu'elles ne sont valables qu'en supposant la partie réelle de a positive et ne conviennent donc pas à notre but.

1. Il n'entre pas dans nos intentions de reprendre toute la théorie de la fonction F; mais, pour mieux caractériser notre point de vue, il semble convenable de donner une déduction rapide de toutes les formules dont nous aurons besoin.

Nous adopterons comme définition cette formule

r (o) = lim

212 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

d'où l'on conclut immédiatement

(2) r(a + l) = ar{a)

et

Par conséquent , la formule (1) peut s'écrire

(n = 00 ) donc

(3) lim^"t^ = l.

^ ' nT (n)

Une autre propriété qui découle immédiatement de la définition adoptée est celle-ci

(4) ria)ra — a) = ~, "

sin {n a) Des formules (2) et (4) on déduit encore

r(a)r(— fl):

a sin (n a)

COS (n a) Remplaçons ici a par ui, u étant réel ; on en conclura

mod r (ui) = 1/-— —

y «(gjru — e-ji-i)

mod r a + Mi) = l/ r-

2. Nous avons à considérer maintenant la fonction log r (a). C'est là une fonction qui n'est pas uniforme comme l'était r (a). Mait il suffira de considérer une branche particulière de logr(a), et, pour la préciser , nous supposerons d'abord que log r (a) est réel lorsque a est

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a). 213

réel et positif. Ensuite nous limiterons la marche de la variable par la condition qu'elle ne traversera jamais la partie négative de l'axe des abscisses : nous avons ainsi une coupure de 0 à — oo . De cette façon logr(a) a une valeur unique et bien déterminée dans tout le plan, à l'exception des points de la coupure.

Pour ces points particuliers , log r (a) a deux valeurs selon que l'on arrive à un tel point par un chemin tracé dans la motié supérieure ou inférieure du plan. L'axe des abscisses divise le plan en deux parties : nous désignons ici par moitié supérieure du plan cette partie où se trouve le point -}- i- La notation

+ logr(a), logr(a)

servira à distinguer les deux valeurs de logr(a) aux bords de la coupure. Il est clair que la fonction log r(a), telle que nous venons de la définir, prend des valeurs conjuguées pour deux valeurs de a qui sont conjuguées. Par conséquent, la différence

+ logr(a)- logr{a)

sera purement imaginaire. Il est facile d'obtenir cette différence. En supposant

n étant entier et positif, la définition de r (a) permet de conclure immédiatement

(6) log r (a) — log r (a) = — 2 71 i X w.

3. Considérons de même la fonction log a en limitant la marche de la variable comme dans le cas de log r (a) : on a

+ log a — log a = + 2 77 î,

donc

+ (7) . . . (a — i)loga — (a — ^)loga = — 2 7rî[n4- J — I].

214 SUR LE DÉVELOPPKMENT DE log T (a).

Posons

log r (a) — (a — ^) log a = f{a), on aura

(8) f(a)-f(a)^2nill-f\

On voit que cette différence est indépendante de n et se reproduit ainsi périodiquement le long de la coupure.

Définissons maintenant une fonction d'une variable réelle x ainsi

et posons

(10) J(a) = / -4— dx.

Nous définissons ainsi une fonction qui existe dans tout le plan, mais qui admet comme coupure la partie négative de l'axe des abscisses.

La différence des valeurs de J (a) aux deux bords de la coupure s'obtient immédiatement à l'aide de la formule de M. Hermite (Journal de Borchardt, t. 91, p. 65)

(11) J(a)— J(â) = 27rî[| — I].

L'inspection des formules (8) et (11) conduit à considérer la différence f(a) — J (a); posons donc

(12) 9^(a) = logr(a) — (a— ^)loga — J(a);

on aura

c'est-à-dire que la fonction 93 (a) est uniforme dans le vrai sens du mot, sans limiter la marche de la variable. Il est facile à voir aussi que (p (a) reste toujours finie et est, par conséquent, holomorphe dans tout le plan.

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

Mais il n'est pas nécessaire d'insister sur ce point, car nous allons voir qu'on obtient facilement l'expression explicite de cette fonction (p (a).

4. Pour cela, il est nécessaire d'étudier d'abord la fonction J(a). Si l'on écrit

on a, d'après la définition de F(x),

c'est-à dire

(U) . . . J(a) = |^[(a + n + |)log('^|+-i)-l et il est clair qu'on a

(15) .... j(a)-J(a + l) = (« + |)log(~^J-l. L'équation (14) peut donc s'écrire

Ha) = ^IJ {a -\- n) — J (a + n + 1)],

donc (16) .

lim J (a 4- w) = 0.

5. Les formules (15) et (16) nous permettent de reconnaître sans difficulté la nature de la fonction 95 (a). En effet, nous calculons d'abord

95(a + l) — 9p(a) = loga — (a + i)log(a + l) + (a — |)loga — J(a + l)+J(o),

c'est-à-dire, d'après (15),

216 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

Donc , si nous posons

'P (a) = — a + ip (a), c'est-à dire

(17) .... v'(a) = logr(a)- (a— J)loga4-cï — J(a), la fonction \p (a) admettra la période 1

tp(a-\- 1) = v(a).

Soit n un entier positif, on aura

= log r (a + w) — log I' (n) — (a 4- w — |) log {a + n) + + (« — |) log n + a — J (a -|- n) + J (")•

Faisons croître indéfiniment l'entier w, à cause de la périodicité de la fonction y, le premier membre ne varie pas et reste égal à

via) — y (0).

Pour avoir la limite du second membre, il suffit de remarquer que, d'après (3),

lira [log r (a 4" n) — log r (n) — a log w] = 0 (w = co)

et, d'après (16),

lira J {a-\- n) = lira J («) = 0 ,

On obtient ainsi

La fonction y se réduit donc à une constante que nous désignerons par G, et nous obtenons ainsi

(18) .... logr(a) = (a— i)loga — a + C + J(a).

6. Il nous reste à obtenir la valeur de la constante C. Remarquons d'abord que la valeur de C est évidemment réelle. Cela

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (a). 217

étant, remplaçons, dans la formule (18), a par ui, u étant réel et positif, et faisons croître indéfiniment u. C étant réel, on pourra négliger la partie purement imaginaire et l'on aura

C=lim. partie réelle de [log r (ui) — {ui — }) log (ui) — J iui)l

Or nous verrons bientôt que

(19) lira J (Ml) = 0,

et, d'autre part, on a

p. r. (M i — |) log (u i) = p. 1-. (u i — D f log M + -J i\ = I log M "^ et, d'après la formule (5),

p. r. log r (M i) = ^ log (2 7i) — I log M — I log (e«« — e- « «) ; donc

C = lira I log (2^1) — 1 log (1 — e-2^») = i log (27i) et, définitivement, (20) . . . Iogr(a)=:(a— |)loga — a+ ilog(2^) + J(a).

C'est la formule que nous voulions obtenir et qui servira de point de départ à notre déduction du développement de log r (a). Elle ne se distingue de la formule qu'on emploie ordinairement dans ce but que par la forme sous laquelle s'est présentée la fonction J (a).

En effet, la formule (10)

J(a)= — ,-^dx

est valable dans tout le plan et admet seulement comme coupure la partie négative de l'axe des abscisses , tandis que les formules de Binet

(22) J (g) = lr4g-^ log/ 1 ^ \

nj a^4-x^ ^ \1 — e-2'">

supposent essentiellement que la partie réelle de a soit positive.

218 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

Cette formule (10) est due à M. Bourguet qui l'a obtenue sous une forme légèrement différente dans un travail inédit , mais dont nous avons eu connaissance.

M, Bourguet obtient , en effet , une formule qui , après un changement de variable , peut s'écrire