V-i a + n+x' et remarquons que
/ —7 i — dx= — f 7 dx-{- -
, — dx =
donc
(24) . .Jia) = ±j\i-x)i-:^^^- ' ^)dx
oc
ou
2(i — xfdx
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (a). 219
Supposons d'abord a réel et positif, J (a) l'est aussi , et , à cause de
{a + n -^ x){a -\- n -\- 1 — x) = {a -\- n)(a + n -{- l) -\- x{l — x), on aura
J(«)< É /"* J{i-xfdx ^ ly. 1
T-i (« + «)(« + " + !) 12^ fa + n)(a + n + l)'
Prenons maintenant, dans la formule (25),
R étant positif, et l'argument 0 compris entre les limites ± n. Il viendra évidemment
modJiReioxY /'* 2{^-xfdx
/ mod(Rei9 + M + a;) (Reie-l-n+l— a;)"
Nous remarquons ici que n + a; et « + 1 — a; sont réels et positifs. Or , b étant réel et positif, on a
mod (R e • e 4. ^,) = K(R + bf coa^ | d -j-jR — hf sin^ p; mod (Re''9 + 6) >(R + 6) cos | 0, donc
mod J (Re*»)< ^l y [^ 2{i-xfdx
c'est-à-dire
modJ(R.iO)<^^^^^^j(R)
et, à plus forte raison ,
(26) modJ(Re'9)< — -.-i
12 R cos2 1 0
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).
On voit par là que, lorsque a croît indéfiniment, J(a) tend, en général , vers zéro. Il ne pourrait y avoir exception que dans le cas où l'argument 6 tendrait en môme temps vers la limite -|-7i ou vers — jt. La formule (19) que nous avons admise provisoirement est aussi une conséquence immédiate de la limitation que nous venons d'obtenir.
8. Considérons maintenant le développement de J (o) suivant les puissances descendantes de a. Si dans la formule (10), nous remplaçons P(.x) par son développement en série trigonométrique (23), on aura
te
Bin2n7ix\ dx
nn
et, en intégrant par parties 2k — \ ou 2k fois, on obtient
(2^)-J(«) = lT'2a-87ra« + -- + (-^)*-^ll-i)^^"*-^ + -^*^
le terme complémentaire h{a) se présentant sous l'une des deux formes suivantes :
J.(„, = (-iM.2..,2*-.)i Z2»-r(^
dx (x+"^'
dx (^+"âpTî"
Les nombres de Bernoulli s'introduisent dans la formule (27), par suite de la relation
Posons
sin 2 w 71 a;
on a évidemment
Vk{x+\) = ?h{x),
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log P (a). 221
et la seconde des formules (28) peut s'écrire
ou encore
(30) . . . . Ma)=fpA.)±^^^^^^^,,^,dx.
Si l'on remarque que on déduit facilement de (30) cette formule
1 00 ri 11
(31) Jfc(a) = / Pft (x) y^ 7 — i j — TâïTTî — 7 — i f— i rpTjTi dx.
Ces diverses formules présentent la plus grande analogie avec les formules (10), (13), (24). Il faut remarquer, en effet, que dans l'intervalle 0 < a; < 1 , Pfc (x) est un polynôme du degré 2 /c -|- 1 en a; dont l'expression est bien connue.
Il est clair aussi que
Ma)-h{a+l)=f ^-^à+jd
la valeur explicite de cette différence se déduit des formules (27) et (15).
9. Nous allons chercher maintenant une limite supérieure pour le module de Jk{Re'^). La première des formules (28) conduit facilement au but : il suffit de remarquer que
12 (2k-U\^ cog2w7ia; 1 . 2 . . .(2 A;— 1) y^ 1
et
mod {x + Re'C) >(» -f R) cos ^ 0
222 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (o).
pour obtenir immédiatement
(32) . . . modJt(Reie)<^-^^— 3^^^^3T(séci0)2^
Pour obtenir une autre limitation , nous déduisons de la seconde des formules (28) par une intégration par parties
(33) J.(a) = (-l)M.2...(2A+iy 2. pM^r(^)2T+2 (^^a)^^+^' d'où l'on conclut
Htm ie\ ^ 1 -2. ■ .(2A:-4- 1) P "V^ 1 — co82«7ra; da;
moajfc(J:ie j< (cos|0>''+2 .J 2- 22* + Mw^)'-*+M^ + R)'*+''
c'est-à-dire
mod 5k (R c 0) < (cogpp+o raod J* (R).
Mais, lorsque a est réel et positif ^R, la formule (33) montre que Jt(R) a le signe de ( — 1)*, et, à cause de
J/((R) et .1^4.1 (R) ayant signe contraire, il est clair que
mod J. (R) < (2^^i)Y2V+T) R2Â+T ' donc
Bft+i (sécl0)2*+2
(34) . . . raodJ;t(Reifl)<
Pour A; = 0, on retrouve la limitation (26).
On voit que, R croissant indéfiniment tandis que l'argument 0 reste
constant, on a
liraR"J4Ré'e) = 0, tant que le nombre fixe a est inférieur à 2k -\- \.
SUR LE DEVELOPPEMENT DE log F (a). 228
10. Soit f{z) une fonction uniforme dans cette partie du plan où la partie réelle de z est ^ 0. Supposons de plus que f{z) n'ait ni pôles ni points singuliers essentiels dans ce domaine. Alors on aura, la partie réelle de a étant positive ,
l'intégrale étant prise sur un contour C se composant de la partie de l'axe imaginaire de — Rf à -f- Ri et du demi-cercle obtenu en faisant
varier 0 de + ^ ^ — ^ ^^"^ l'expression 2: = Re'^. On doit supposer
ici que le rayon R soit assez grand pour que le point a soit compris à l'intérieur de C. Le point — a étant évidemment en dehors de C, on a
%mj a
et, par suite,
(37) fla) = ^f-%^('\dz.
mJ a^ — z^ (0)
Supposons qu'on ait
(38) . . lim Tmod '^^^ dz = lira ^^ fmod f{z)dz = 0 , R = oo ;
l'intégrale étant prise sur le demi-cercle de rayon R, la formule (87) donnera, en faisant croître indéfiniment R,
la variable u parcourant les valeurs réelles de — oo à + oo .
Dans le cas où la fonction f{z) prend des valeurs conjuguées pour des valeurs conjuguées de la variable, cette formule se simplifie encore, et, en posant
(39) f{ui) = di-\-S!>i,
224 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).
on aura
Les formules (35) et (86) donnent encore , par soustraction ,
1 r zf{z) J 0
d'où l'on déduira par un raisonnement semblable
(41) ...... .r{a) = --j ^-,dM;
mais ici il faudra remplacer la condition (38) par celle-ci,
(42) . . ]im fmod^''dz = \im^ fmoôf{z)dz = 0, R = oo,
l'intégrale étant prise encore sur le demi- cercle de rayon R.
Les formules (40) et (41) montrent comment on peut calculer (sous certaines conditions) la valeur de
f{a) partie réelle de a > 0,
en connaissant seulement soit la partie réelle , soit la partie purement imaginaire de f(ui). Elles présentent une certaine analogie avec la formule qui permet de calculer la valeur d'une fonction u de deux variables réelles satisfaisant à
ix^ dy-
en tout point à l'intérieur d'un cercle, si l'on connaît la valeur de u sur le contour du cercle.
La fonction f{z)=::\ogz satisfait à la condition (38): toutefois elle devient infinie pour z = 0; mais, l'intégrale qui figure dans la formule (40) conservant un sens, il est facile de voir que cette formule
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log P (a).
reste applicable dans ce cas. Il en sera de même de la fonction J{z), qui satisfait évidemment à la condition (38) d'après la limitation (26) , la circonstance que, pour « = 0, J {z) devient infini comme log^r n'empêchant pas la formule (40) de rester applicable. A l'aide des formules (20) et (5), on trouve, dans ce cas,
a = jiog(^ — ^^~A>
... l f^ adu , ( 1 \
C'est la formule de Binet , que nous avons rappelée plus haut (22).
11. Pour montrer une autre application de la formule (40), nous considérons la fonction
b étant une quantité réelle , et nous remarquons que le module de cette fonction pour z = iu (m étant réel) s'exprime par les fonctions élémentaires. En effet , ce module est égal à
Kr (6 + iu) r (6 — iu) r (i — T+1m) r ( r-T^ïûj]
tnais
r (6 + im) r ( l - 6 — iu) = ^ — 71-,—-— V '
r{b — iu)r{l — b-{-iu):
d'où l'on conclut la valeur du module
8in n(b — iu)
}/g2nu | g-2nu — 2 COS 2bn
Cela étant , on s'assure facilement que l'on peut prendre dans la formule (40).
«'>=i'«B^^^±^Wn^-*'--
226 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).
mais il est clair qu'il faudra supposer
pour que la fonction f(z) reste finie tant que la partie réelle de z est positive. En effet, en introduisant la fonction J{2), on voit que f{z) tend vers zéro lorsque z croît indéfiniment (la partie réelle de z restant toujours ^0), en sorte que la condition (38) se trouve satisfaite. Un calcul facile donne d'ailleurs
-, ,, e2ji"4-e-2^« — 2co8 26w a = — i log -, r, )
donc
ln<, r(a + 6)r(a + l-6)
1 r=° adu
= i log a — j,~ I ^^ri^^ log
e2nu |- g-23i« 2cos267r
