Il est clair que la fonction

e23îu | g— 2aru — 2 cos 2b Jl

reste toujours positive ; en écrivant donc

1— « «3 T- 5 ■■•-t-V U „2i-lT^^ ^/ „2A-1/

et supposant a réel et positif, on obtiendra pour l'intégrale qui figure au second membre de (43) un développement suivant les puissances descendantes de a , qui jouira exactement des mêmes propriétés que la série de Stirling.

Nous écrivons ce développement ainsi

. r{a + b)r{a + i-b) nia) <p,{b)

P^°^ r(a)r(a) -iioga-h ^ +3^3 "!:•••

I +(2ft-l)a2*-i "•■"*'

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (a). 227

en posant

Ç2anj^--25ru — 2 C08 2 6?l

dw.

La fonction <P2n + i (b) n'est autre chose que le polynôme de Bernoulli, qu'on peut définir, soit par le développement

soit par la condition que, pour b entier et positif,

La formule (45) montre clairement que <p2„+x{b) a constamment le signe de (— l)»+i dans l'intervalle (0, 1), et est croissante dans l'intervalle (0, i), tandis que

C'est à M. Hermite qu'est due l'idée de faire dépendre les propriétés des polynômes de Bernoulli de leurs expressions par des intégrales définies. La formule qu'il a obtenue dans le tome 79 du Journal de Borchardt

U2" + Idtt

2 C082bn

ç,,„+, (ft) = ( i)n+i 4 sin^ 6. r (ej^l±ll^^l] «^::±idi

se déduit de (45) par une intégration par parties. Nous remarquons encore que la série infinie

fAb) ■ iPsib) ■ 9-5(6) 1 a "^ 3 a3 "•" 5 a^ ''" ■ • ■

est divergente. C'est là une conséquence de ce fait , facile à démontrer, qu'en posant

/oo u"f{u)du,

228 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

/■(m) étant une fonction qui reste toujours positive , on a

liin^^^' = + oo.

Cn