Considérons maintenant la fonction

rÇ^ + fr)

6 étant une quantité réelle; nous remarquons que l'on obtient facilement (à un multiple de n près) l'argument de cette fonction dans le cas où 3 = ui. En effet , soit

i ! i — :^reai î — =re— a».

r(i — 6 + iM) ' r(i — 6— îM)

donc

Hft + iu)V{\-h-iu)

r(6 — tM)r(i — 6 + itt)

c'est-à-dire

sin 71 (6 — iu)

sin 71 (6 + *") On voit que a est égal à l'argument de

8m7r(6 — îu) = sinbnf -^ 1 — icos bn\ — — !•

Supposons 0 < 6 < 1, en sorte que sin 671 est positif, on aura

|c« — e~ "" } j cot 67r> , gjru | g-wu j '

l'arc tang étant pris entre ± ^ ; l'entier k est nul si l'on veut que a

s'annule en même temps que m.

Cela étant, posons

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (a).

dans la formule (41). On voit facilement que sur le demi-cercle de rayon R le module de f(z) devient très petit et s'annule pour R := oo : donc la condition (42) se trouve satisfaite. Un calcul facile donne ensuite

2 IB := (^ — b)n — arc tang ( , ■ ^ cot bn

ou,

= I arc tang

Ig^U | g— Wtt

e-2a:Msin(267i)

1 — e-2;iucos(26jï)

SI I on remarque que

{]^ — b)7i = arc tang (cot b n) ,

et, par conséquent.

1 f^ udu / -ô-, —., arc tang

e-2îiusin(26;7i)

1 — e-2^«cos(267i)

(Ogôgl).

L'arc tang qui figure dans cette formule ayant un signe constant , qui est celui de sin {2b7i), on voit que l'on peut déduire encore de cette formule un 'développement en série qui jouira des mêmes propriétés que la série de Stirling

où

i^iogr,^^-^ = (^-i)iog«-

l\n-i ^oo

arc tang

• ■ ■ 2A:a2* e-23tus\n{2bn)

— Rft.

1 — e-2îi:Mcos(2 67ï).

du.

Ici <P2n{b) est le polynôme de Bernoulli, tel que nous l'avons défini précédemment. On voit que

et que dans l'intervalle (0, |), (p2n{b) a le signe de ( — 1)"-^

230 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

14. On peut se convaincre facilement que les fonctions (p qui figurent dans les formules (44), (45), (47) et (48) sont les polynômes de Bernoulli. En effet, la somme de (44) et (47) donne

Or supposons 6 entier et positif; on a