l/^««r/.J 1^ In A- h n h\nonJ

log'^^±^^ = loga(a+ !)...(« + 6 -l)=Moga+^log(l + -^)

et l'on a précisément

On voit aussi , par ce raisonnement , que , lorsque h est entier et positif, le développement (49) est convergent sous la condition

moda > 6 — 1.

De même , si b est entier et négatif, on verra que ce développement est convergent sous la condition

mod a > — b.

Mais, pour toute autre valeur de 6, la série (49) est toujours divergente.

(Paris, C.-R. Acad. Sci. , iio, 1890, 267 — 270.)

Sur la fonction exponentielle.

(Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.)

Après quelques tentatives , voici la démonstration à laquelle je me suis arrêté pour prouver l'impossibilité d'une relation de la forme

(1) N + 6«Ni + e*No + ... + e"N„ = 0,

a, b, . . . , h étant des nombres entiers, ainsi que les coefficients N, Nj,

Ng, ...,N„.

Soit

F (z) = sfi{2 — ay +*i {z — 6)1" +*2 . . . (« — /i)/' +*»

un polynôme de degré

M = (n + 1)^ + A:, + ^2 + . . . 4- ^n, à coefficients entiers ; fi est l'entier auquel on donnera plus tard une valeur suffisamment grande; Aj, h^, ..., A;„ sont des entiers fixes: on a, du reste, kp=zQ ou =1. J'indiquerai plus loin leurs valeurs qui dépendent uniquement de a, 6, . . . , /j; N^, . . . , N„.

Je n'ai maintenant qu'à reproduire , avec de très légères modifications , vos formules