SUR UNE FONCTION EXPONENTIELLE

n (a;), n^{x), .. . étant des polynômes à coefficients entiers. On en conclut

1%-" F(2) d^r = -Jrq^-^Cn (a;) - e-«- Di (x)],

j\-^'F(z)dz= ~f^^{^ [n (x) -e-o-n^ (x)] ,

et posant x = l, n (1) = P, Ilj (1) = Pj , . . . ,

El =^^ — re-^F(0)d« = e«P — F '■ 1.2 .. .fil

]e^=-:^ — f''e-'F{z)dz = e»F — F, (2) . . . . ( * 1.2...^;

ï-5^* — re-'F{z)dz = e»F-Fn

Les quantités «j , Co, . ., «n tendent vers zéro pour fi= co, et , la relation (1) donnant

Ni £i + N2«2 + • ■ • 4- N„e„ = — (NP + Ni Pi + . . . + N„Pn) = entier, on doit avoir, dès que /j. surpasse une certaine limite,

Ni «1 + Ng «2 + • • • + Nn «n = 0 ;

c'est-à-dire, si l'on introduit les valeurs (2),

Nie» re-*F(8)dz + N2e»/^ e-'F(z)dz + . . . -\-Nne'' f e-''Fiz)dz = 0 0 "o "o

ou bien

(3) / <!b{z)e-'F(z)dz = 0,