SUR UNE FONCTION EXPONENTIELLE

la fonction * (z) étant déterminée ainsi

Cette fonction $(2;), constante par intervalles, n'est pas identiquement nulle , puisqu'elle ne l'est pas dans le premier et dans le dernier des intervalles. Du reste , elle ne s'annule même pas dans aucun des intervalles , puisqu'on peut supposer irréductible l'équation à laquelle satisfait le nombre e.

* («) ne peut changer de signe que pour

Voici maintenant la détermination de k^, k^, . . ., A„. Je prends

k, =\l\ selon que * (z) | ^^ ^Z^e pas I ^^ ^'g"^ P^"'- ^ = « ' k, =\l\ selon que * (.) j ^^ ^T^^J ^^^ j de signe pour z = b, >

*»-= loi ^^^°" ^"^ *(^) Le ctTge'pas! ^^ ^'^"^ P^"*" ^ = ^' A„ =0.

Je dis alors que l'équation (3) est impossible dès qu'on prend pour /u. un nombre pair. En effet , il est clair que , dans l'intégrale

J * {z)e-'[z {z — a)...{z — h}y (z — a)*i (z — b)"' ...(z — gf—\ dz,

la fonction sous le signe / a un signe constant dans tout l'intervalle (0, h).

(Paris, C.-R. Acad. Sci. , iio, 1890, 1026— 1027).

Sur la valeur asymptotique des polynômes de Legendre. (Note, présentée par M. Hermite.)

M. Darboux a donné, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (3« série, t. IV, p. 39; 1878), une formule qui permet d'obtenir une expression approchée de X„ (cos 6>) , l'erreur commise étant

de l'ordre d'une puissance aussi grande qu'on le voudra de — • Nous avons obtenu le résultat suivant. Soient

n 3.6.7...(2w4-l)' alors on a

X„(cos©)=C

ces (n 04-1 g) , 1 • 1 cos (n 0 -j-j^a) , K28Eë '^2."(2n + 3) V(2iïr0)8