SUR I.A VALEUR ASYMPTOTIQUE DES POLYNÔMES DE LEGENDRE

Mais, que la série soit convergente ou non, on peut toujours énoncer la proposition suivante :

En prenant les k premiers termes de la série , l'erreur commise est inférieure , en valeur absolue , au double du A; + l'«™« terme dans lequel on aurait remplacé par l'unité le cosinus qui figure au numérateur.

Nous nous proposons d'en développer prochainement la démonstration dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse.

(Ann. Fac. Sci., Toulouse, 4, 1890, G. i - 17.)

Sur les polynômes de Legendre.

L'expression remarquable, obtenue d'abord par Laplace pour représenter asymptotiquement les polynômes de Legendre, à été depuis l'objet de plusieurs recherches, et M. Darboux notamment adonné une formule qui permet d'obtenir une expression approchée , l'erreur commise étant de l'ordre d'une puissance aussi grande qu'on le voudra

de — (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3* série, t. IV ;

Nous développons , dans le travail actuel , un résultat plus complet. En effet, nous trouvons qu'on peut exprimer le polynôme de Legendre par une série qui est convergente tant que la variable reste dans un certain intervalle. C'est seulement en dehors de cet intervalle que la série prend le caractère d'une simple expression asymptotique ; mais , même dans ce cas, nous obtenons une expression très simple de l'erreur commise en s'arrêtant à un nombre fini de termes ').

1. En définissant P''(a;) comme coefficient de 2-"-^ dans le développement de

(z^ — 2xz-\-\)-i suivant les puissances descendantes de 2, on obtient immédiatement l'expression par intégrale définie

2niJ J/^s — 2x2-1-1

1) Le résultat principal de ce travail a été énoncé dans une Note insérée aux Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences en mai 1890 (LXXII).

l'intégrale étant prise en sens direct sur un contour fermé C enveloppant les points

qui sont les points critiques du radical. Ce radical doit être pris avec un signe tel que , lorsque \ 2 \ est très grand , on ait , à peu près ,

Vz^ — 2xz-\- 1 -.z égala -f ].

Le contour fermé C peut être remplacé par le chemin abcdefa, les points a et d étant très voisins de l'origine. Pour préciser, nous supposons que f

Fig. 1.

et f-i ne sont pas réels , c'est-à-dire que x^— 1 n'est pas réel et positif. On désignera alors par | celui des points critiques qui est situé audessus de l'axe réel , en sorte que la partie réelle de

est positive.

On voit alors facilement que la valeur du radical en a doit être -}- 1 , et qu'en d elle est — 1. On aura, par conséquent,

d étant la valeur de l'intégrale

f z''dz J Vz^—2xz^\

prise sur un lacet partant de l'origine et enveloppant le point f , 08 la valeur de cette même intégrale sur un lacet partant de l'origine et enveloppant le point f "^ Le sens dans lequel ces lacets sont parcourus est arbitraire; mais la valeur initiale du radical doit être toujours -\- 1 , et l'on a évidemment

J Vz^^ — 2xz4-l J Vz'^ — 2xz+\.

les chemins d'intégration étant rectilignes.

2. Pour préparer le développement en série que nous avons en vue, nous allons transformer ces intégrales d et âB. Posons, dans la première,

z = Hl — u),

en sorte que m prendra les valeurs réelles de 0 à 1 , En remarquant que

{z^ — 2xz-\-l) = (l-Sz){l—S~^z),

il viendra

(4) . . a = 2|" + ^Kl-;fc/V;-J^"l^ k= ^

. a=2i"+^Kn:^r;;-j^"i^

J Vu(l—kîi)

On pourra prendre ici Vu positif, pour Vl — ku la valeur qui se réduit à 4- 1 pour M:=0; mais alors il faudra adopter, pour Kl-— A, la valeur finale de Vl — ku pour m = 1.

En procédant de la même façon pour la seconde intégrale , on aura l'expression suivante :

J Vu(l—ku) J Vu(l — HiU)

ta t-2

Supposons maintenant x^cos 6>, 0 étant un angle compris entre 0 et 71, on aura

, f cos & -{-i sin 0

~ ^ — J-^ ~ " 2Tsïn6> ou

asm 0

et posant a = 0 — -^•

Il est clair par cette valeur de k que la partie réelle de VT—~k doit être positive , car la partie réelle de Vl — ku ne peut s'évanouir pour aucune valeur de u comprise entre 0 et 1. Il faudra donc adopter la valeur suivante de ce radical