VI

iVk îe*«»

^~r -1/ A iVk

car la partie réelle de cette expression est

8 inJi^-0)^«^(^^+|) V2 sin & V2 sin 0

On a donc

V2 sin 0 et de même

te — (n 0 + Ja)«

|-»-iKl — Aj =

K2 sin 0

A et Aj étant des quantités imaginaires conjuguées, ainsi que | et $-^. La formule (5) prend donc cette forme

ou, plus simplement,

(6') P»(cos 0) = ~—L=x partie réelle de «(«© + * ai. f\^l~J^l^"L- 7iK2sin 0 "^ J Vua — ku)

3. Le module de A:= ^r—. — ^ étant 7^-- — 7^, ce module sera inférieur

2 sin © 2 sin 6 '

à l'unité tant que l'on a

Dans cette hypothèse , on pourra développer en série convergente le radical

1 =l + i/CM+^A2„2,....,

Vï^^ku ' ' '2.4

et l'on obtient ainsi

(7) P" (cos 0) = C„

cos (w0 + I a). 1^ 008 (n 0 -}- § g) ,

Ffsîn© '^2"(2w4-3) K(2sin^

+ 2.4(2n + 3)(2n + 5) l/flshTëf "*"

1^ ■ S''^ . 5^ co8(M0+|a) ■

développement convergent même pour 0:= ^ ou 0=-g--

Mais on peut procéder autrement et obtenir le même développement, mais limité à un nombre fini de termes avec un terme complémentaire, et cela pour une valeur quelconque de 0 comprise entre 0 et 71.

Il suffit, pour cela, de remplacer, dans la formule (6'),

1 1 r^ dv

Vl ku ^ ' 1 — ÂMSin^»

et de faire usage ensuite, dans l'intégrale double obtenue, de l'identité

On retrouve ainsi le développement (7), mais limité àses^J premiers termes et avec le terme complémentaire

: . X partie réelle de / / :/ — r^ dudv.

^K2sin0 ^ J J 1-kusm-v

Le module de k étant tt-- — ?ï. on en conclut

2 sin 0 '

Rp!<

1 /-i /-"(l — m)"mp- Jsin^Pt;

7iK(2sm6>)2p

dudv

et , en désignant par M le maximum du module de

1 — ku 8\n^v

on aura , à plus forte raison ,

" 7i2K(2 8in0)2p+

= ^ /^""(l — M)"Mî'-^8in2Pt;dMdv,

(9) Rp <MC,