M = ABC. ..L

les facteurs A, B, C, . . . , L étant premiers entre eux.

Il est clair que chaque racine de la congruence (1) satisfera aussi aux congruences

f(x) = 0 (modA),

f(x) = 0 (mod B) ,

f(x)^0 (modL).

Donc , si une de ces dernières congruences n'admet pas de racines , il en est de même de la congruence (1).

Soient a une racine de f{x)^0 (modA), ^ une racine de /'(.t)e^O (mod B) , etc. , enfin X une racine de f(x) hh 0 (mod L).

Alors on saura trouver toujours un nombre t, satisfaisant aux congruences

< = a (mod A) , tE^^ (modB),

t ^ A (mod L) , et ce nombre t est parfaitement déterminé aux multiples de M près. Mais il est clair qu'on aura fit) = 0 (modA), rit)^0 (modB), ..., f{t)=^0 (modL),

donc aussi f{t) eee 0 (mod M).

On conclut de là que le nombre des solutions de la congruence (1) est égal au produit des nombres des solutions des congruences (2).

On peut évidemment prendre pour A, B L des puis.sances de

nombres premiers.

18. On comprend bien , d'après ce qui précède , que dans la théorie des congruences de degré supérieur, on s'est surtout occupé des cas où le module est un nombre premier ou une puissance de nombre premier. On ne connaît presque aucun théorème général sur les congruences par rapport à un module composé

Ici , où il s'agit seulement de donner les premiers éléments d'une théorie que nous devons développer plus tard, nous nous bornerons à considérer le cas d'un module premier. Lagrange a obtenu dans ce cas quelques propositions très simples , mais fondamentales.

Considérons donc la congruence

f(x) = 0 (mod p) ,

p étant un nombre premier. Le degré n de cette congruence est le degré de la plus haute puissance de x qui figure dans /"(a;), avec un coefficient non divisible par p. Du reste , il n'y aurait aucun inconvénient à supposer ce coefficient égal à 1, car, s'il est a, on pourra toujours multiplier la congruence par un nombre b tel que 06^ 1 (modp) La congruence obtenue est évidemment équivalente à la congruence proposée. ^

Soit maintenant x = a une racine de la congruence. En divisant f(x) par X — a, on aura

fi (x) étant un polynôme du degré n — là coefficients entiers. La congruence donnée peut donc s'écrire

{x-a)f,{x)+r(a)^^-0 (modp),

ou bien, puisque par hypothèse f{a) est divisible par p,

{x — a) /"i (x) ^ 0 (mod p).

Si la congruence proposée admet encore d'autres racines (i , y

on doit avoir

donc /i (;S) — 0, /", (y) =^ 0, etc. , puisque , par hypothèse , /8 — a , y

ne sont pas divisibles par p. On voit donc que ces racines p, y, ... sont aussi racines de la congruence

qui est du degré n — 1.

La congruence du premier degré admet toujours une racine : on peut donc conclure qu'une congruence du second degré admet tout au plus 2 racines, une congruence du troisième degré tout au plus 3 racines ; généralement on peut énoncer le

Théorème IV. — Une congruence de degré n par rapport à un module premier admet tout au plus n racines.

Et nous pouvons ajouter encore :

Théorème V. — Les racines de la congruence de degré n

/■(a;) = 0 (modp) étant a, ^, y, . . . , X, on a identiquement

fix) = {x — a){x — p)...{x — k)f, {X) (mod p), /■, {x) étant un polynôme en x tel que la congruence

/i(x) = 0 (modp) n'admet aucune racine.

On en déduit encore facilement le Théorème VL — Si la congruence de degré n

/"(a;) = 0 (modp) admet n racines et qu'on a

f{x) = f^{x)f„{x) (modp), alors les congruences

A(x) = 0, U(x)^Q (modp) des degrés Wj et Wo, («i + ng = n) admettront respectivement «j et n^ racines.

19. Pour donner , dès à présent, un exemple de la fécondité de ces principes, considérons avec Lagrange le polynôme

(1) x(x->c l)(a; + 2)...(a;4-p— l)=j;P4-Aia;P-i + A^a;p-2-f ... + Ap ia;.

En changeant x en x -\- 1, on aura aussi

= (x + l)P-\-A,{x + l)P-^ + A,{x-\-iy-^ + ...i-Ap-r{x+l).

Or , il est clair que ces deux polynômes sont congrus entre eux , suivant le module p, que nous supposerons premier car leur différence est

p(x+])te + 2)...(a; + p-l).

En écrivant donc que les coefficients des mêmes puissances de x sont congrus (mod p) , on a

Ai = y + Ai {modp),

^"-'-^ i.2...(ir^ + r:2...(p-T)^i + • • • +t Ap-2 + a,i,

Oi^l + A. + A2 + ... + Ap 2+Ap,.

On remarque ici que les coefficients du binôme y, — . — ^— . . .

~r 2 ? — ^TV ^^'^^ ^*^"^ ^^ entiers divisibles par p : on peut les négliger. La seconde congruence montre alors que Ai = 0 modp, ensuite la troisième que Agii^O modp, etc. , jusqu'à l 'avant-dernière, qui montre queAp 2^0. Donc

(2) . . . . Ai = A2 = Ag = . . . 5^ Ap 2 = 0 (modp)

et la dernière congruence donne ensuite

(3) Ap i4-1 = 0 (modp).

Si l'on se rappelle la signification de Ap i, on a le

Théorème de Wilson , p étant un nombre premier,

est toujours divisible par p.

d06 SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.

Ensuite nous avons d'après (1) , (2) et (3) la congruence identique

X (a; + 1) (» 4- 2) . . . (a; + p — 1) EEE icP — a; (modi)). Mais , parmi les p nombres consécutifs x, x-\-\ , ..., x-\- p — 1, il y en a toujours un divisible par p; donc

XP — X est toujours divisible par p. En supposant a; = a non divisible par p, on a le

Théorème de Fermât, a étant un nombre entier non divisible par le nombre premier p,

aP-i — 1

est toujours divisible par p.

Autrement, la congruence a;P-^ — l = 0(modp) admet les p — 1 racines l,2,3,...,p — 1.

Le théorème de Fermât est un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres; nous le retrouverons dans le Chapitre IV, où nous traiterons particulièrement des résidus des puissances et de la théorie des congruences binômes.

20. Les systèmes de plusieurs congruences du premier degré à plusieurs inconnues se présentent maintenant naturellement à notre attention, mais nous consacrerons à ce sujet important le Chapitre III tout entier. Ici nous nous bornerons à traiter une question élémentaire et dont on a souvent besoin. La théorie des équations indéterminées est liée évidemment très étroitement à la théorie des congruences; nous discuterons ici l'équation indéterminée

(1) . • . . OiO^ +fl2^2 + «3^3-f •• • + «n + ia;„ + i = M,

Oj, ag, . . . , On-f-i et M étant des nombres donnés, aji, aig, . . . , a;„-|-i étant des inconnues qui doivent avoir des valeurs entières II est clair d'abord que u doit être divisible par le p. g. c. d.

d = (ai, «2. • • -«n + l)

des coefficients «j, ag, . . . , «n+i.

Mais, pour que d ait une valeur déterminée, il faut supposer que les coefficients a^,a^, . . . ,a„-^\ ne soient pas tous nuls. Ce sera là la

seule restriction à laquelle nous soumettons les données du problème. Maintenant, si u est divisible par d, le problème admet toujours des solutions. Cette proposition est vraie dans le cas « = 1 , et il est très facile, en partant de là, et à l'aide d'une induction , de montrer qu'elle est vraie généralement.

Mais nous suivrons une autre voie qui nous donnera en même temps toutes les solutions du problème. Mais ici une explication est nécessaire , si les valeurs

satisfont à la relation (1) ; de même que les valeurs