X-^ — Cj , Xo — ^2 » • • . » Xn -{-l — Cn -\-\ t
ces deux solutions seront considérées comme distinctes si les différences
bk — Ck, k=l, 2, ..,, n+ 1
ne sont pas toutes nulles. Il importe de bien observer cette convention; ainsi, même dans le cas où a„-|-i=:0, les solutions
3îj ^= Oj , X2^=02> •••> Xn^^Oni ^n + 1— — i'n + 1
et
a;i = 6j, T2=:&2. •••> Xn = b„, x„+i = b„+i-\- k
seront considérées comme distinctes, tant que k n'est pas nul.
Les coefficients aj, «2, . . . , «n + i n'étant pas tous nuls, on supposera que «j n'est pas nul. On pourra déterminer alors deux nombres a et y satisfaisant à la condition
et ces nombres seront premiers entre eux , en sorte qu'on pourra ensuite déterminer deux nombres /S et (5 par la condition
aô — ^y = l.
On pourra prendre du reste /î := — ag : (Oj , OgK ^ = + «i : (û^i . »2^ i c'est là une remarque dont, nous profiterons tout à l'heure. Posons
x^ = a xfi-\- fixait ia:fi = ÔXi — fix^,
X2 = yaA-\- ÔX2\ 'a^ = — yXi-\-aûC2,
l'équation (1) deviendra
Il est clair que ces équations (1) et (2) sont équivalentes en ce sens, que si l'une des équations est impossible, l'autre le sera; et que, si l'on connaît une solution de l'une de ces équations , on en déduira une solution de l'autre. A deux solutions distinctes d'une de ces équations correspondent toujours deux solutions également distinctes de l'autre.
Remplaçons maintenant de la même manière les inconnues xx et x^ dans (2) par deux nouvelles inconnues x'^ et x'^ . en posant
(ai , Og) oi 4- Og j-i = (ai , ag , Og) , ai<5i — ^1/1 = 1, a/i = aia/i + /î]a;3, a/i' = ^lai — A^^s, a;3 = j'ia;i'+ ^ia;3, 4 = — na^i + aia;3,
on obtiendra une transformée encore équivalente à (2) et à (1)
(3) . (ai, «2, a3)a;î'+ Ô2a^ + 6s4 + a4a;4 + . . . + a„ + ia;„ + i = M.
On peut continuer ainsi, en opérant maintenant sur x( et x^, etc. Après n transformations, on aura la transformée équivalente que voici
(4) (ai, «2, ..., a„+i)a;i"+ 620:2+ 633/3+ 6424 + ... + 6„ + ia;;+i = M,
et l'on obtient les expressions de Xi Xn-\-] au moyen de substitutions successives sous la forme
a;i = Al a;i"^ + 01,2^2 + 01,34 + «1,4 3:4 + .. • + ai,„ + ia:„ + i,
X2 = A2 oèx + 02,2a^ + 0-2,3 333 + 02,4 O!* + ... + a2,„ + l a4 + l , 0:3 = As Xl" + 03,3 Xs + 03,4 aJ4 + ... + fls,« + l S^n + l ,
iC4 = A4 xi"' + a4,4 a4 + . . . + a4,„ + l x'nJ^\ ,
a:n+i = A„ + ia;i" + fl„+i,„ + ia::;, + i.
Ces formules donneront toutes les solutions du problème, si l'on prend pour a;',"', x'^, x'g, . . . , x'„j^t^ toutes les solutions de (4). Mais on remarque que, si l'on prend pour ^ et S les valeurs que nous avons
indiquées plus haut, on ab2 = 0. En appliquant donc toujours le même procédé , on aura aussi
63 = 64 = . . . = 6„ + 1 = 0. Mais alors les solutions de (4) sont en évidence; il faut évidemment que u soit divisible par d, et l'on obtient toutes les solutions de (4) en prenant xf^ = u : d, et en donnant à
352, ctfa, ..., odi + i toutes les valeurs de — c» à -f- » .
Théorème VII. — On obtient toutes les solutions de l'équation indéterminée (1), et chaque solution, une seule fois, en posant xf^^u : d dans les formules (5) et en faisant parcourir k x'^, ■ ■ . , x'„^i toutes les valeurs entières de — 00 à -(- =» •
On voit sans difficulté qu'en procédant comme nous l'avons indiqué, les coefficients «2,2, «3,3, a„+],„ + i ont les valeurs suivantes: «2,2 = «1 : (ai, 02), 03,3 = (ai, «2) : (ai, «2, aa),
a„ + i,n + i =(ai,a2, ... , On) : («i, 02, . . ., a„ + i).
21. Cette solution donne lieu à quelques remarques utiles. Il est clair qu'en ajoutant les équations (5) après les avoir multipliées par Oi, O2, . . . , a„4-i les coefficients de Xg, x'^, . . . , x'„^^, s'annulent. On a ainsi des relations homogènes entre Oj, «g. • • • 1 On + i, qui déterminent les rapports de ces quantités. En supposant
Xn + 1
Ol.S
ai,n+i
• On + l,n + l
= MiXi + M2X2+... + M„+iX„ + ,,
on aura
«1 : Og : Og : . . . : a„ + 1 = Mj : M, : M3 : . . . : M„ + ].
Mais il est clair qu'on a
Mi = a2,2 X «3,3 X ... X an + i.n + i = ai : d;
donc, généralement,
Uk = ak:d, /c= 1, 2, . . ., n+ 1.
En multipliant donc , par exemple , la dernière ligne horizontale du déterminant D par d, on obtient un déterminant dont les mineurs ont les valeurs a^, a^, . . . , On + i- On voit par là que l'on peut toujours déterminer n lignes de w -|- 1 nombres entiers telles qu'en ajoutant une (w-f-l)'»™« ligne et formant le déterminant, les coefficients multipliés dans ce déterminant par les différents termes de la {n -\- 1)'*""® ligne, soient des nombres donnés.
C'est là une proposition donnée par M. Hermite (Journal de Crelle, t. 40, p. 264), qui en a fait une application très importante.
22. En cherchant l'expression de icî"*, x^, ..., x'„^i comme fonctions linéaires de x^, X2, . . . , Xn + i, on trouve d'abord , à cause de 62 = h = . . . = 6„ + 1 = 0.
(Oj , «2) X{ = % Xi 4- a2 332,
(«1 , a^, as) a^i' = Oi a;i + ag «g + «3 ^ .
(ai, «2. • • • > »n + l)4"' = «ia;i +«2^2+ • • ■+a„ + ix„+i,
et ensuite on reconnaît que les expressions cherchées se présentent sous la forme
«!"* = («1 »! + «2 3^2 + • . . + ffn+1 a;„ + i) : d, a^ = a2,i xi + 02,2 % ,
X^S = as,l Xl -\- 03,2 X2 -f «3,3 353 ,
aJÎi + 1 =: a„ + 1, 1 Xi + «n 4- 1, 2 ^ + • ■ • 4" «" + 1, n + 1 ^ + !•
Le déterminant des fonctions linéaires au second membre est évidemment ^ 1, comme cela a lieu pour les équations (5), car les déterminants des deux systèmes sont réciproques et en même temps des nombres entiers. Ces déterminants sont donc, tous les deux, soit = +1. soit = — 1 , mais il est facile de voir que c'est la première valeur qui a lieu.
On voit donc que , étant donnés les nombres entiers
on pourra trouver toujours n lignes de n -}- 1 nombres entiers , telles qu'en les ajoutant à la ligne donnée , on obtient un déterminant égal
au p. g. c. d. de Oi , 02 On + i.
C'est là un résultat dont on a souvent besoin. La question a été posée et résolue par M. Hermite (Journal de Mathématiques appliquées, t XIV, 1849). Nous verrons, dans le Chapitre III, qu'il est extrêmement facile de déduire d'une solution particulière de ce problème toutes les solutions possibles.
23. Il convient de considérer plus particulièrement le cas u = 0.
a^ a;i + «2 3:^2 + «3 ^3 + • • • + «n + 1 ^ + 1 = 0. Si l'on a m solutions de cette équation
ki,i A;i,2 Ai,3 ... Ai.n + i (Kj)
fe,! h,2 fC2,3 ■■■ A;2,n + 1 (K2) «m, 1 km, 2 Km, 3 • • ■ «m, n + 1 (Km)
nous dirons que ces solutions sont indépendantes, lorsque les déterminants de degré m dont les éléments sont puisés dans cette matrice (et que nous appellerons les déterminants de ces solutions) ne sont pas tous nuls. Il est clair qu'un système de solutions indépendantes se composera tout au plus de n solutions, car, les nombres a^ta^, ...,a„ + i n'étant pas tous nuls , le déterminant de n + 1 solutions est toujours nul. On peut représenter une solution par un simple symbole (Kj) qui représente ainsi w + 1 nombres entiers, pris dans un ordre déterminé. On peut déduire des solutions (Kj) , (Kg) , . . . , (Km) une nouvelle solution
(Kj <i -}" Ko '2 ~r • • • "r Km 'm) >
dont les éléments sont
*l,r'l + *2,r'2 + ^3,r<3+.. ■ + km.r'm (r = 1 , 2 , . . . , n + 1).
Nous dirons qu'un système de solutions (Kj), (Kg), . . . , (Km) forme un système fondamental de solutions , dans le cas où l'on obtient toutes
les solutions de l'équation proposée, et chaque solution , une seule fois, en donnant à fi, f^, ■ ■ ■ , 'm toutes les valeurs entières de — oo et -j- oo dans l'expression
(Kl 'i + Ko ^2 + • • ■ + Km 'm)
L'existence de ces systèmes fondamentaux ne fait pas de doute; nous avons obtenu déjà (théorème VII) un système fondamental composé de n solutions.
Théorème VIII. — Un système fondamental de solutions se compose nécessairement de n solutions indépendantes.
D'abord, les solutions qui composent un système fondamental (K^, K, , . . . , Km) sont nécessairement indépendantes. En effet , dans le cas contraire, on sait qu'il existe une relation identique
(Kl Mj + Kg «2 + • • ■ + Km Wm) = 0 ,
les Ml, Mg, . . . , Mm n'étant pas tous nuls. On obtiendrait donc la solution
non seulement en prenant mais encore en prenant
'l = Ml , (2 ^^^ M2 , • • • ) 'm ^= Wm ,
ce qui est contraire à la définition d'un système fondamental.
Et en second lieu , on a nécessairement m = n. En effet , la supposition de w < n est inadmissible , car il en résulterait que m-\- l solutions quelconques ne pourraient jamais être indépendantes. Or, le système fondamental que nous avons obtenu se compose effectivement de n solutions indépendantes , dont les déterminants (d'après le n° 21) sont Ok : d {k = ] , 2 , . . . , n -\- \).
24. On s'assure facilement que n solutions indépendantes quelconques (Kl), (Kg), . . . , (K„) ne forment pas toujours un système fondamental de solutions Car si l'on cherche à représenter une solution quelconque par
on trouve bien toujours des valeurs déterminées pour f^, t2, ...,tn, mais ces valeurs seront en général fractionnaires.
Théorème IX. — Un système de n solutions indépendantes, tel que le plus grand commun diviseur de ses déterminants
Ml , Mg , . . . , M„ + 1
est = 1 , forme un système fondamental de solutions.
En effet , si l'on cherche à représenter par
(Kl 'i + K,, ^, -f . . . + K„ '„) une solution quelconque b^, b.^, . . ■ , b„^i, on obtient, pour déterminer t^ft^, . . . ,tn, un système de m -|" ^ équations linéaires, mais ces équations sont compatibles à cause de la relation
fli 6i -f- a.2 62 + • • • + o'» + 1 ^n + 1 = 0- On peut donc , pour déterminer les inconnues, faire abstraction d'une quelconque de ces équations , et l'on obtient ainsi v -{-\ systèmes de n équations dont les déterminants sont Mj, Mg, . . , M„ + i La valeur de tk se présentera donc sous la forme
/ Pl P2 Pn + l
'*-Mi~M2 M„+i'
PiiP^t • • ■ iPnJti étant des nombres entiers. Mais , si la valeur fractionnaire irréductible de tk est— , s divisera Mi, Mg, . . . , M„ + i. On a donc
s = 1 , c'est à-dire tk a une valeur entière et les solutions indépendantes (Kl, K,, . . ., K„) forment un système fondamental, ce qu'il fallait démontrer. Il est clair que les déterminants de n solutions indépendantes sont proportionnels à a^ Ca. • • • > ^n + i (voir n". 21).
Théorème X. — Les déterminants d'un système fondamental de solutions sont, abstraction faite des signes,
a^: d, a^'. d, . . . , On+i : d. Désignons par (Ai), (Ag), . . . , (An) le système fondamental particulier que nous avons obtenu et dont les déterminants sont (/& :d(/c = 1, 2, ..., n + 1). Alors (Ki), (K2), . . . , (K„) étant un autre système fondamental , on aura
(aiKi + a2K2 + ... + a„K„) = (Ai), (^iKi + /?2K2 + ... + /î„K„) = (A2),
(Al Kl + A2K2 + . . . -f knKn) = {A„).
On voit par là qu'un déterminant quelconque Ok'-d, du système fondamental (Aj), (A2), . . . , (A„) est égal au déterminant correspondant du système fondamental (K^), (Kg), (K„) multiplié par
Qj ag ... a„
/j ^ ... An
On a donc nécessairement A := ± 1-
La liaison des divers systèmes fondamentaux est évidente. On voit que chaque système fondamental fournit une solution du problème que nous avons considéré dans le n" 21.
25. La méthode la plus simple pour obtenir un système fondamental de solutions se fonde sur la remarque suivante.
Supposons que l'un des coefficients a^, 02, . . . , «n + 1 soit égal à
d-=(ai, Og, . . . , a„+i), par exemple an + i = d. Alors il est clair que , pour avoir toutes les solutions de l'équation indéterminée
il suffit de donner kx^, x^, . . . , Xn des valeurs entières quelconques et à x„-\-i la valeur (entière aussi) qui en est une conséquence. On a donc, dans ce cas, immédiatement un système fondamental de solutions correspondant à la solution générale
Xi — f j I 3/2 — '2 ) • • • > •''" — ' w > **''> -)- 1 — j
Si le cas particulier que nous avons considéré ne se présente pas , soit «1 le coefficient non nul , dont la valeur absolue est la plus petite. En posant
fl2 = A;i«i + &2> ''s^^Oi + fta •••> cin + i = k„ai-\-bn+i,
Xi=Xi-{-k^X2-{-k2X3-^ . ..-{-knXn + i,
on aura une équation transformée
Oj rci + *2 ^2 + ''a % + • • ■ + ^n + 1 ^n + 1 = 0- Par un choix convenable de k^, k^, ...,k„ on peut faire en sorte que le
plus petit coefficient de l'équation transformée soit moindre que a^ ou même ne surpasse pas ^ a^. En continuant ainsi , on tombe finalement sur une équation dont un des coefficients est d et dont on peut écrire immédiatement un système fondamental de solutions auquel correspondra un système fondamental de solutions de l'équation proposée. Cette méthode , qui s'applique également à l'équation
aia;i4-«2^2 + • • • + »n + ia;n + i = M, se trouve dans un Mémoire posthume d'Euler. Jacobi l'a rappelée à l'attention des géomètres dans un Mémoire également posthume (Journal de Crelle, t. 69, p. 21).
26. Les nombres a, b, c, . . . , l étant premiers entre eux et
m = abc ... l,
fïl TH fit
nous savons que le plus grand commun diviseur des nombres— , -7-, ..., y
est ^1. N étant un nombre quelconque, on pourra donc toujours satisfaire à l'équation
c'est-à-dire on aura
abc.l a'^ b^'"'^ l'
N On verra facilement que la fraction —7 -, peut se mettre d'une
seule manière sous la forme
E étant un entier positif ou négatif et
Ogo2<«. Og6.2<6, 0^l2<l.
La solution de l'équation indéterminée ax — My=:l a été donnée en Europe , pour la première fois , par Bachet de Méziriac (Problèmes plaisants et délectables , qui se font par les nombres. 2« édition ; 1624. 5® édition, par Labosne; 1884). Les anciens géomètres hindous, Bhascara et Brahmagupta connaissaient aussi déjà la solution de ce problème.
Le problème du n" 11 se trouve traité complètement dans d'anciens
Livres d'Arithmétique chinois. On y trouve non seulement la méthode de Gauss (n° 13), mais aussi la réduction du cas général au cas où les modules sont premiers entre eux (n° 15) On peut voir sur cette question
Biernatzki , Journal de Crelle , t. 52.
J. Bertrand , Journal des Savants , 1869.
Matthiessen, Journal de Crelle, t 91.
La fonction (p (M) a été considérée pour la première fois par Euler. Les Mémoires d'Euler sur l'Arithmétique ont été réunis en deux volumes (Leonhardi Euleri Commentationes arithmeticae collectée. Petropoli, 1849). Nous citerons toujours cette édition; la fonction gs se rencontre dans le Mémoire Theoremata arithmetica novo methodo demonstrata , 1759 (tome I , p. 274). La démonstration d'Euler est reproduite dans le tome II de l'Algèbre de Serret. Le théorème 5;g5(d) ^ M est dû à Gauss (Disquisitiones arithmeticce, 1801, art. 89; tome I des Œuvres complètes).
Les théorèmes de Lagrange sur les congruences se trouvent dans le Mémoire : Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers (Œuvres, t II) et la démonstration des théorèmes de Fermât et de Wilson, Œuvres, t III , p. 425.
La considération d'un système fondamental de solutions d'une ou de plusieurs équations indéterminées est due à M H.-J. Stephen Smith (Philosophical Transactions of the Royal Society for the year 1861; vol. 151).
Nous indiquerons ici les principaux Ouvrages d'un caractère général
Gauss , Disquisitiones arithmeticae (Œuvres , t. 1). Il y a une traduction française par Poullet-Delisle.
Legendre , Théorie des nombres 8» édition.
Smith, Report on the theory of Numbers (British Association for the advancement of Science, 1859, 1860, 1861, 1862, 1863, 1865).
C'est un résumé extrêmement important sur toutes les parties de la théorie des nombres auquel nous aurons à emprunter beaucoup de choses.
Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen uber Zahlentheorie , herausgegeben von R. Dedekind. Dritte Auflage , 1879.
Serret, Traité d'Algèbre, 5« édition, t. II.
