Considérons le système des congruences
Oi,! x\ -f 0^2 a;2 + • • • + «•> ^n ^ "'■ (niod M). Soit A = \aiit\ le déterminant formé avec les coefficients des inconnues, puis a,ft le coefficient de a,i dans A. On obtient immédiatement
A Xi e:; Ml ai,i4-"2 02,1+ ... + «"«»,* (modM).
Supposons que A soit premier avec le module M, alors cette dernière
relation détermine une valeur unique de Xi par rapport au module M ;
et ensuite il est facile de voir que les valeurs de x-^, x^, . . . , Xn ainsi
obtenues satisfont bien aux conditions proposées. En effet, on trouve
A(ai,ia;i -{-ai,2X2 + • • • + ai,nXn)^^ AM< (modM) et, puisque A est premier avec M, on peut diviser par A.
Le système des congruences admet donc une solution unique dans le cas particulier que nous considérons. On peut ajouter que les valeurs de Xi, «a, . . . , Xn satisfont encore à la relation
an + i,ia;i +a„+i,2a;2 + • • ■ + «n + i.na;,,^- m„+i (modM) si l'on a
... ai,„ Ml
; 0 (mod M).
Oin,l ' • • Cln,n Mjj
On + 1,1 ••• an + l,n Mn + 1
En effet, il est facile de voir que cette dernière congruence peut s'écrire sous cette forme
A(m„ + i — a„+i,ia;i — û'n+i,2a;2— • • . — an+i,nXn)^0 (modM).
2. Les résultats précédents sont ceux qui s'offrent immédiatement lorsqu'on poursuit l'analogie évidente qui existe entre la théorie des congruences et la théorie des équations. Mais si A n'est pas premier
avec M, une étude plus approfondie est nécessaire. Elle a été faite pour la première fois par M. H.-J.-S. Smith, et nous allons exposer sa théorie. Les considérations suivantes interviennent non seulement dans des questions de la théorie des nombres , mais elles sont encore utiles dans beaucoup de théories d'analyse pure ; aussi plusieurs résultats isolés ont été obtenus antérieurement par d'autres géomètres.
Nous commencerons par étudier les équations linéaires indéterminées, mais il convient d'abord de fixer le sens de quelques expressions dont nous ferons usage.
En adoptant une expression introduite, croyons nous, par M. Sylvester, nous appellerons matrice un Tableau de forme rectangulaire
O-n, 1 ftn, 2 . • ■ On,m
contenant mn quantités données, et nous dirons que cette matrice est du type nXm. Si l'on a un système quelconque d'équations linéaires, les coefficients des inconnues constituent la matrice de ce système. Si les équations ne sont pas homogènes, on peut ajouter à cette matrice une dernière colonne formée par les termes connus. On obtient ainsi la matrice complétée du système. Les mêmes expressions s'emploieront dans le cas d'un système de congruences. Les éléments ai,k seront toujours des nombres entiers.
Les déterminants d'une matrice sont les déterminants de degré le plus élevé que l'on peut former avec les lignes ou les colonnes de la matrice; ainsi , dans le cas m ^ n, ces déterminants renferment n^ éléments et leur nombre est
m{m — l)...im — n-]r\),^^ 1.2. ..M - ^'"^"•
Le plus grand diviseur d'une matrice est le plus grand commun diviseur des déterminants de cette matrice , en supposant que ces déterminants ne soient pas tous nuls. Dans le cas m = n, ce plus grand diviseur est le déterminant même du système des n^ éléments.
Nous désignerons une matrice souvent par le symbole
IIAII
et , dans le cas où elle est du type n x n, | A | sera le déterminant. Deux matrices
!|A|| et ||B||
des types m X (m-{-n) et n X (w -f- w) sont de types complémentaires. Il est clair que ces matrices ont le même nombre de déterminants, et l'on peut faire correspondre à chaque déterminant de |j A || un déterminant de II B II et réciproquement, de la manière suivante.
En écrivant la matrice j| B || en dessous de la matrice || A i| on obtient une matrice
qui sera du type (m -f w) X (m + «) et à un déterminant de || A || on fera correspondre le déterminant de || B || avec lequel il se trouve multiplié dans le déterminant des (m -\- n)^ éléments
AI B i
Souvent il n'y a pas d'intérêt à faire attention au signe d'un déterminant d'une matrice, mais dans le cas actuel il convient de faire en sorte que le produit des déterminants correspondants se retrouve avec son signe dans le déterminant des (m -|- nf éléments.
3. Les déterminants d'une matrice ne sont pas indépendants; il existe en général un grand nombre de relations identiques entre eux. Nous allons nous rendre compte d'abord de la nature de ces relations et du nombre des déterminants qui sont indépendants. On pourra con sidérer dans ce numéro les éléments de la matrice comme des quantités arbitraires. Considérons la matrice
Ol.l
fll,2 • .
• fl'l,m + n,
flm.l
am,2 •
Cm,m-\-n
du type »t X (w -f- n). Le nombre des déterminants est
mais nous allons montrer qu'il y en a seulement mn-\- 1 qui sont indépendants. Tous les déterminants peuvent s'exprimer à l'aide de mn-\-l d'entre eux.
Soit
(2) A = \ai,ic\ {i,k = l,2, ...,m)
le déterminant formé par les m premières colonnes de la matrice. Le déterminant obtenu en remplaçant dans A la i'^™" colonne par la w + A'*""® colonne de la matrice sera désigné par Ai,m+k. On déduit ainsi de A mn nouveaux déterminants, i variant de 1 à m, A; de 1 à m. On pourra les disposer dans le Tableau
Ai,m + 1 Ai,m + 2 ••• Al, m + n, - . i^2,m + l A2, m + 2 ••• A2,ni + «>
Aj)j,m-|-1 Am,m-\-2 • • • Am,m-{-n-
Les mn+1 déterminants A, At^^ + k sont indépendants; on peut trouver une matrice pour laquelle ces déterminants ont des valeurs données d'avance. Prenons d'abord arbitrairement les éléments a<,A de A, avec la seule restriction de vérifier la relation (2). On a ainsi les m premières colonnes de la matrice. On peut déterminer ensuite la m [. liième colonne par la condition que les déterminants Ai,m + ft(î= 1 , 2, . .. , m) prennent des valeurs données. En effet, on obtient ainsi m équations linéaires pour déterminer
Ol,m-fft) Cl2,m + k, ■■■> Om,m + k-
Le déterminant de ce système est A^-i, mais, en le résolvant, on trouve simplement
(4) . aî,m f A: = (a«,l Ai,m + A: + *t,2 ^2,m + A: + • • • + «i.m Am,»n + fc) : A,
La vérification de ces valeurs est du reste immédiate , et l'indépendance des mw -f- 1 déterminants A, Ai^m + k est manifeste.
Considérons maintenant un autre déterminant A' de la matrice. Il contiendra k colonnes appartenant aux n dernières colonnes de la matrice (A ^ 2) ; soient
m -{- kl, m -\- 2-2, ■ ■ . , 'm-\-h
les rangs de ces colonnes. Les autres m — k colonnes de û' appartiendront aux m premières colonnes de la matrice, c'est-à-dire, ce sont des colonnes de A. Soient
les rangs des colonnes de A qui ne figurent pas dans A'. En remplaçant alors dans A' les éléments ai,m+k par leurs valeurs (4), on obtient, à l'aide des propriétés élémentaires des déterminants , la formule
Ainsi tous les déterminants de la matrice s'expriment rationnellement au moyen des mn-\- 1 déterminants A, Ai,m+ft. On voit que A' est égal à un déterminant mineur du degré k, puisé dans la matrice (3), divisé par A*-^ Le nombre des déterminants tels que A' est
Équations linéaires indéterminées.
