Considérons d'abord le système linéaire et homogène

Nous supposerons que ces équations sont linéairement indépendantes, c'est-à-dire que tous les déterminants de la matrice de ce système ne sont pas nuls. Le plus grand diviseur de la matrice a alors une signification précise; soit d ce plus grand diviseur.

Le moyen que nous emploierons pour trouver toutes les solutions en nombres entiers consiste dans l'introduction de nouvelles inconnues.

Au lieu de a?!, a;2, . . . , Xm+n, on peut introduire de nouvelles inconnues , en posant

Xi = CyiXi -\-Ci,2X2 4" • • • + Ci,m + nX'm + n-

Les c,,i seront des nombres entiers, et nous n'emploierons que des substitutions dont le déterminant | c,-,a; ; = ± 1-

On peut alors exprimer réciproquement les %[ par des fonctions linéaires à coefficients entiers des Xi et , comme nous ne considérons que les solutions en nombres entiers , le système transformé sera absolument équivalent au système donné, c'est-à-dire à deux solutions distinctes d'un des systèmes correspondront toujours deux solutions également distinctes de l'autre.

Parmi les déterminants de la matrice de (I) qui ne sont pas nuls , il y en aura au moins un dont la valeur absolue est le plus petit. Nous pouvons supposer, en adoptant la notation du n°3, que A soit ce déterminant minimum. Supposons d'abord que tous les déterminants A,-,m+A: soient divisibles par A. Alors il est clair que l'on obtient la solution la plus générale de (I) en donnant à Xm+i, oCm+2, ■ ■ ■ , Xm+n des valeurs entières absolument quelconques et en déterminant ensuite x^, X2, . . . , Xm par les formules

Xi = — {Ai^m + lXm + l-^ ^i,m + 2Xm + 2-\- ■ ■ • -{- Aj.w-f n^Jm + n) : A,

On voit, du reste, par la formule (5) du n*'3, que, lorsque A divise tous les Ai^m+h, il divisera tous les déterminants de la matrice, en sorte que l'on doit avoir A = ± d.

Mais supposons que A ne divise pas tous les Ai^m+k et, par exemple, ne divise pas Ai,m + i- Alors, on peut toujours trouver un entier c tel que la valeur absolue de

Ai,m-fl — C A

soit inférieure à celle de A. La substitution de déterminant -\- 1

Xi =Xi {i=l,2,S,...,m,m-\-2,m-}-3,...,m-\-n},

Xm-^l ^— Xm-\-l CXi

transformera alors le système (1) dans un autre système dans lequel un des déterminants est Ai,m + i — cA. Le déterminant minimum du système transformé est donc plus petit (en valeur absolue) que A. Si ce déterminant minimum ne divise pas tous les autres déterminants , on pourra encore le diminuer par le même procédé. Il est clair que l'on finira par trouver un système transformé dans lequel le déterminant mini-

mum divise tous les autres déterminants , et dont on peut écrire alors immédiatement la solution la plus générale. Cette solution renferme, comme nous l'avons vu , n indéterminées auxquelles on peut donner toutes les valeurs entières de — oo à -|- oo .

Théorème I, — On obtient toutes les solutions du système (I) , et chaque solution une seule fois, par les formules

,jj. ( Xi = ^i,i ti -\- p2,i t2-\- ■ ■ -\- ^n,i tn,

en donnant kti, t2, ■ ■ ■ , tn toutes les valeurs entières de — oo à + «> •

Il est clair qu'en substituant les expressions (II) dans le système (I) , les coefficients de t-^, t2, ■ . , f„ doivent s'annuler.

On obtiendrait donc encore des solutions de (I) en donnant ht^ft^, .. ., tn des valeurs fractionnaires. Mais il est clair que l'on ne peut jamais obtenir, de cette façon, une solution de (I) en nombres entiers , car toute solution entière correspond à un système unique de valeurs entières de ti, t^, . ■ . , tn-

Pour obtenir , dans un cas donné , la solution générale sous la forme (II), il .sera plus pratique de procéder autrement. On cherchera , par exemple, par la méthode d'Euler (Chap. II , 25) , la solution générale de

«1,1 Xi -\-ai,2X'i + . . . -\-ai,m+nXm-\-n^O,

qui renfermera m -\-n — 1 indéterminées , puis on introduira ces valeurs dans la seconde équation

«2,1 a:i -f- «2,2 3:2 + . . . -f-a2,m + na:m + „=0,

etc. , jusqu'à ce que l'on ait épuisé les m relations données.

Si l'on transforme , comme nous l'avons fait , le système (I) , il est clair que tout déterminant du système transformé est une fonction linéaire à coefficients entiers des déterminants de(I),et réciproquement. On voit par là que le plus grand diviseur des deux matrices est le même et, par conséquent , dans le procédé que nous avons employé plus haut, on trouvera finalement un système dont la matrice a un déterminant minimum égal à ± d.

â24 SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.