Considérons r solutions du système (I

«r,l, ar,2, • • • , ar,m + n,

que nous désignerons quelquefois aussi par de simples lettres A^, Ag, . . . , Ar. Ces solutions sont indépendantes si tous les déterminants de degrés r ne sont pas nuls. Il est clair que l'on peut trouver tout au plus n solutions indépendantes, car, puisque toutes les solutions sont comprises dans les formules (II) (n*' 4) qui ne renferment que n indéterminées, n -{• 1 solutions ne sont jamais indépendantes. En multipliant les solutions précédentes par <i, ^2» •••>'»■ ^^ en ajoutant, on obtient une nouvelle solution

Aj <i + -A.2 <2 + • • • + Ar <r

dont les éléments sont

aJi = ai,,- <i 4" «2,! fe + ■ . . + «r,,- ^r-

Nous dirons que les solutions

forment un système fondamental de solutions, lorsque l'on obtient toutes les solutions possibles, et chaque solution une seule fois, en donnant à t-^^t^, • • ■ ,tr les valeurs de — oo à -)- <» • L'existence de ces systèmes fondamentaux de solutions ne fait pas de doute, car nous savons , par le théorème I , que

Pi,l , A',2, • • • , Pi,m + n (i=l, 2, ..., n)

est un tel système.

Théorème II. — Un système fondamental de solutions se compose de n solutions indépendantes.

Ce théorème est une généralisation du théorème VIII du Chapitre II; la démonstration est exactement la même.

La matrice formée par n solutions indépendantes , ou par un système fondamental de solutions, est du type w X (w + w), donc du type complémentaire de la matrice du système (I).

Considérons la matrice du système (I) et la matrice formée par n solutions indépendantes

Les relations qui existent entre ces nombres se réduisent à ceci : que la somme obtenue en multipliant les éléments d'une quelconque des m premières lignes par les éléments correspondants d'une des n dernières lignes est nulle.

On voit donc qu'il y a une réciprocité complète entre les deux matrices , et si l'on considère le système indéterminé

«i,ia;i4- «1,2 372 + . .. +a.-m+na;m + n = 0

{i=l,2,...,n), les nombres

««, 1 , «»,2 , • • • , di, m + n

{i=l,2, ...,m), en donneront m solutions indépendantes.

D'après ce que nous avons dit dans le n" 2, on peut faire correspondre à chaque déterminant de la matrice î| Cj,* || un déterminant de la matrice i| a^k \\ d'un système de n solutions indépendantes.

Théorème III. — La matrice d'un système fondamental de solutions a l'unité pour plus grand diviseur.

Considérons , en effet , les formules

Xi = ^1,1 h -\- P2,i k -{--.. -\- fin,i tn ,

[i = 1 , 2 , . . . , (m + n)] qui renferment la solution la plus générale. II est clair d'abord que

(A,lA,2. •• A,»n + n)= 1,

car , si ces nombres étaient tous divisibles par c > 1 , on trouverait une solution entière en posant <j = - , ce qui , on le voit facilement d'après

ce que nous avons dit plus haut, est contraire à la nature d'un système fondamental de solutions.

Ensuite , je dis que les déterminants de la matrice

/îl,l, A,2, ■••, Pl,m + n, P2,\, ^2,2, • • • , ^2,»n + n

ont aussi 1 pour plus grand commun diviseur. Car si ces déterminants étaient tous divisibles par c > 1, c ne divisera pas tous les éléments de la première ligne, par exemple c ne divisera pas j8],i; mais alors on trouverait encore une solution entière en posant

ce qui est impossible.

Ensuite , je dis que le plus grand commun diviseur de la matrice

/^l,l, A,2, • • • , P\,m + n, /Î2,li ^2,2, ..-, ^2,m+n, /Î3,l, ^3,2, ..., h,m + n

est encore := 1. Car si ce plus grand diviseur était c>l, c ne diviserait pas , par exemple , le déterminant

et, en posant

/^8,1 As, 2

on trouverait encore une solution entière, ce qui est impossible.

Il est clair que l'on peut continuer ainsi , pour arriver au théorème énoncé.