Nous allons considérer encore l'intégrale

(24) . /■(a,/5,Â;)= f (sinhMCOshM)''F(a, /?, }', — 8lnh2M)e-^«dM.

désigne la série hypèrgéométrique. Cette série n'est convergente que tant que « est < 1 tandis que dans la formule (24) l'argument de la série hypergéométrique varie de 0 à — 00 . Mais on sait que

(25) . . . F{a,p,Y,-z) = a-\-z)-<'F{a,y-fi,y,j^^,

et un argument négatif est ainsi ramené à un argument positif et inférieur à l'unité. A la vérité il aurait fallu appliquer cette formule (26) dans l'expression (24), c'est simplement pour abréger l'écriture que nous ne l'avons pas fait.

Enfin dans le premier membre de (24) nous n'avons pas indiqué le paramètre y puisqu'il faudra supposer toujours

Une intégration par parties donne

(27) . . . . a;/'(a, j5, A)=^1;sinhMC08hM)*L.e-^"dM,

L = ft (cosh^M + sinh2 „) p („^ ^^ y) ^^sinh^ u cosh^ m f (a + 1, jô + 1, >- rf- 1),

le quatrième élément dans les séries hypergéométriques étant toujours — sinh^ u.

On a d'autre part

+ a/8 sinh^ M cosh^ m F (a + J , /î -f 1, y -|- 1) , ou si l'on introduit la valeur >' = J (« + /î + 1),

(cosh'-^ u + sinh» u) F (a, /î, j/) = F (a — 1, /î — 1, y — l) +

+ J-^~f^smhHcOBh^uF{a+l,/i^2,y-{-l).

A l'aide de cette relation on peut éliminer F (a, fi, y) de l'expression L, et l'on obtient ainsi cette relation

/ xr{a,fi,k) = kf{a — l,fi — i,k—l) —

Il faut supposer dans cette formule A>0, elle reste encore exacte pour A; = 0 , à condition de remplacer alors

kf{a-l,^-l,k-i) par l'unité.

On obtient maintenant sans difficulté le dé\^eloppement en fraction continue

f29> /•(«, /?, fe) ] Jo Ji Ja.

^ f • ■ kf(a — l,^—[,k—l)~x-{-x+x-\-x-\-""

X„ — (a + n)(/9 + w)(fe + «+l)(«-h^ — ^ + w— 1) ^

et en particulier pour A; = 0,

(30) . Tf \a, ^, ^ (a + ;S + 1), sinh^ MJ e — dw = -L J^ Jl- A

On pourra en déduire un grand nombre de formules plus particulières, dont quelques unes ont été obtenues déjà d'une autre façon.