S , S W , SO
sont situes sur la cyclique S' ; ces points sont, en effet, conjugues a euxmeracs dans le systeme s ou dans le systeme — s.
Les deux cycliques ne se coupant qu'en huit points, a distance finie, on a ainsi les arguments de tous leurs points d'intersection. lis sont de la forme
129. Remarque. — Nous dirons desormais que les deux systemes de conjugaison s et — s sont complementaires.
130. Les cycliques homofocales ont mimes poles principal v x et memes cercles directeurs.
Ce theoreme resulte directement de ce qui a ete dit au n° 106.
131. D'apres ce qui precede, les huit points d'intersection de deux cycliques homofocales, situes a distance finie, ont pour argument sur Tune, S, de ces cycliques, huit quantites de la forme
s h co - ± — I h 2//u' :
la tangente a S en un de ces points joint done sur cette courbe deux points conjugues dans le systeme s, ou le systeme complementaire, et, par suite :
Les huit langentes menecs a une cy clique en ses points a" intersection avec une cyclique homofocale touchent une conique inscrite dans la premiere cyclique.
132. La definition donnee plus haut d'une cyclique S', homofocale a S, peut se traduire ainsi :
Soient A et B deux points d'une cyclique S, conjugues dans un systeme donne, s, ou dans le systeme complementaire. Les points A, et B, situe's sur la perpend iculaire elevee au segment AB en son milieu M, et tels que
MA, = MB, = MA v1— •»
sont sur la cyclique S' .
Car ces deux points sont bien les centres des deux cercles de rayon nul qui passent par A et B.
De la resulte la propriete connue :
Les cy cliques homofocales se coupent a angle droit.
Soient, en eftet, sur la cyclique S, deux points A et B, d'argu-
ments ^ 4- z et s- — i. La quantite £ etant tres petite, ces deux points
sont voisins; pour z = o, ils se confondent en un des points d'intersecr tion A0 des cycliques S et S', et la droite AB a pour li mite la tangente en A0 a la cyclique S.
D'apres la construction indiquee plus haut, les points A, et B, qui correspondent sur la cyclique S' aux points A et B sont voisins, et la droite A,B, a pour limite la tangente en A0 a la cyclique S'. Or les droites A,B, et AB restent perpendiculaires; il en resulte que les deux cycliques se -coupent a angle droit au point A0. c. q. v. n.
