Des deux theoremes precedents on deduit le suivant
Les huit normales menees a une cyclique en ses points d' intersection avec une cyclique homofocale touchent une conique inscrite dans la deuxieme cyclique.
134. Les huit points ({'intersection de deux cycliques homofocales sont sur une cubique circulaire, qui passe par les sornmels, les points de rencontre des coles opposes et des diagonales du quadrilalere forme par les quatrc poles principaux des cycliques.
Tout d'abord, ces huit points sont bien sur une cubique circulaire, car la somme de leurs arguments ± - -f- - w -+- ili 0/ sur la cyclique S est nulle (n° 47), a des multiples pres de to, l\<a'.
Remarquons maintenant que les quatre arguments \ — ^> s- -+-
— s- -+- ^ ont une somme nulle (a des multiples pres de w, 4W')' c' qu'ils verifient, par suite, une equation de la forme
al)u0(t) + a, «i(0 -I- a2a.,{l) ■+■ a3n3(t) = 0.
Or les fonctions u„(t), ut(i), u2(t) sont paires, la fonction u3(t) est impaire [eq. (E), n° 99]; il en resulte que la constante a3 est nulle. De meme, les fonctions u0, u3 ne changent pas quand on y rem-
place / par ^ — la fonction u2 change de signe, et Ton a a, = o.
L'cquation est done de la forme
Les quantites - -+- 201 , — - + 2a/, - h (- 2co , +- - +201
verifient par suite l'equation
e'est-a-dire, a un facteur exponentiel pres,
Les arguments des huit points d'intersection de la cyclique S et d'une cyclique homofocale S' verifient done la relation
Le rapport ^ varie avec s, e'est-a-dire avec la cyclique homofocale S' consideree.
Les huit points d'intersection de S et de S' sont done situes sur la cubique circulaire, dont l'equation est,
en designant par U0 = o, U, = o les equations des cubiques circulaires qui coupent respectivement S aux points dont les arguments verifient les relations
Les huit points d intersection de deux cy cliques homofocales sont done sur une cubique circulaire, passant par sept points fixes a distance finie.
II reste a determiner ces sept points.
Or nous avons trouve (n° 96)
px'\{t) + qx\{t).->r rxl(t) = 2M0(/) A CO- Il en resulte que la cubique, dont l'equation est
xx [>.( p x\ -+- qx\ ■+- rx\ ) — xx ( + q p ^2 •+- rv.v3 )] =1 o,
coupe S aux points doubles et en huit autres points, dont les arguments verifient l'equation
o = .r, ( t) [2 A tt0(t ) — .r, ( 0] on ( 11 y + Xa0) («,. — 1 u$) = u\ — «; =n o.
Cette cubique fait done partie du faisceau (U0, U,); son equation est
Ui — A'-U0 = o;
on verifie aisement qu'elle passe par les sept points
(x.2=zo, x{ = o), (.r3 — o, Xi — o), (x2= o, x3— o), (J?t = >, x2— fx, x3 = v), e'est-a-dire les poles principaux de S, et
( xt — A, x.z ■= n, x3 — o), (.r, — 1, X}— o, j;3= jj.), (ar, = 0, fx, j?3= v),
e'est-a-dire les points de rencontre des cotes opposes et des diagonales du quadrilatere forme par les poles principaux.
D'un autre cote, ttjj, u'\ sont lies par une relation lineaire (n° 95); si done U, = o est l'equation de la cubique circulaire qui coupe S aux points dont les arguments verifient la relation u\(t) = o, le faisceau de
StIB LES COUKBES DE GENRE UN. 1^0
cubiques (U0, U.,) est identique au faisceau (U0, U,) : or on trouve, comine plus haut, que la cubique [a2U0 — U2 = oa pour equation
x1[p.(px^ -+- qx\ -+- rx\) — x^{p\x^ -+- q\xxt-\- rvx3)] — o,
et Ton verifie qu'elle passe par les sept points mentionnes plus haut.
Toutes les cubiques du faisceau a* U0 — a) U, = o passent done par ces points. c. q. f. d.
