VIII. — Systemes paraboliques de conjugaison
135. Soiente,, e\ ; e.,, e\ les couples d'arguments qui correspondent respectivement aux deux points doubles E, et E2 d'une .courbe du quatrieme degre S; considerons sur cette courbe deux points conjugues dans le systeme e, -+- e2, ou dans le systeme complementaire — (e, 4- e2), e'est-a-dire e\ -+- e[,. La droite qui les joint touche une conique inscrite dans S, et, comme la droite E, E2 joint le point d'argument e, au point d'argument e2, cette conique touche E,E2; dans le cas oil S est une cyclique, la conique est done une parabole.
De meme, les droites qui joignent deux points de la cyclique S conjugues dans le systeme e, -+- e[, ou dans le systeme complementaire e\ -+- e2, enveloppent une parabole.
Nous appellerons systemes paraboliques de conjugaison les systemes e, -+- e2, eK ~h e[, et les systemes complementaires.
136. Remarque. — L'equation generale ties coniques inscrites dans une cyclique
montre que, parmi ces coniques, il n'y a que deux paraboles, et que ces deux courbes ont leurs axes rectangulaires et paralleles respectivement aux directions axiales de la cyclique.
137. Nous avons rappele plus haut la definition des foyers singuliers d'une cyclique. Dans ce qui suit, nous designerons par :
Fo\er singulier F le point de rencontre des tangenlcs aux branches e, et e2, » F' » e\ et e'.2,
Les foyers F et F', F, et F'( sont situes sur deux droites rectangulaires, se coupant au centre de la cyclique, en leurs milieux; on a
F,F', = FF' v^- Nous dirons que les foyers F et F, F, et F'( sont conjugues.
138. Tout cercle dec/it (/'an foyer singulier d'une cyclique comme centre coupe cette courbe en deux points a distance finie, et la ligne qui Joint ces deux points enveloppe une parabole inscrite dans la cyclique.
A deux foyers singuliers conjugues correspond la meme parabole.
Soit, en eflet, un cercle decrit de F comme centre; ce cercle est tangent aux points E, et E2 aux branches et et e.2 de la cyclique; il coupe done cette courbe, a distance finie, en deux points dont les arguments ont pour somme — (e, -+- e2)> e'est-a-dire e\ -+- e'2.
De meme, les deux points a distance finie, ou la cyclique est coupee par des cerclesayant leur centre en F', F,, F'^sont respeclivementconiugues dans les systemes e, -+- e2, e\ + e.2, et -+- e\. c. Q. f. d.
139. Ueprenons l'equation des coniques inscrites dans une cycli(jue
G + aXC + X^o,
et choisissons, comme axes de coordonnees cartesiennes, les axes de la conique G = o. L'equation precedent? devient
( H ) o = I1 x2 4- m*y* — l2m2+ilC -+- X2,
etant pose
C — a ( x2 + y2 ) + 2 b x + 2 cy + d.
Considerons les cercles qui sont bitangents a Tune des coniques representees par cette equation, ctqui ont leur centre sur l'axe de cette conique parallele a l'axe des x. L'equation de l'un quelconque U de ces cercles sera, ~k' designant une constante arbitraire et n- la quantity I'1 — m2,
o = U = l2x2-+- m2y2 — llm2 + aXC + A2 — n2(x + I')2.
La cyclique S, enveloppe des coniques representees par l'equation (H),
SUU LES COUIIBES DE GENRE UN.
a pour equation
0 = S = C2— l-x-— niLyi+ llm\ On a done identiquement
ou
Gette identite donne aisement les consequences snivantes :
i° Les quatre points d'intersection, a distance finie, du cercle U et de la cyclique S, sont a l'intersection de ce cercle avec les deux cercles
