C-hl — n(x -+■!') = o, C + A + n(i; + ^) = o

dont les centres respectifs sont fixes, quels que soient la conique inscrite et le cercle bitangent a cette conique, que Ton considere.

2° Les asymptotes de ces deux cercles coincident avec les asymptotes de la cyclique; en d'autres termes, leurs centres sont deux foyers singuliers conjugues de la cyclique.

3° La ligne qui joint les centres de ces deux cercles est parallele a 1'axe des x.

Par consequent :

140. Les directions axiales d'une cyclique sont celles des droites qui joignent le centre aux foyers singuliers.

Et :

141. Etant donnee une conique inscrite dans une cyclique, les cercles qui touchent doublement cette conique et qui ont leur centre sur I' axe parallele a une direction axiale donnee coupent la cyclique en quatre points : deux de ces points sont conjugues dans un systemc paraboliquc , les deux autres le sont dans le sysleme parabolique complementaire .

Si la direction axiale donnee est celle de la droite FF', les deux systemes dont il s'agit sont les systemes e, -+- e2 et e\ -+- e2 ; si la direction donnee est celle de F, ¥[, ce sont les systemes e\ -f- e., et e, -i-e',.

CEUVRKS DE G, HUMBERT, T. I. 23

OKUVllES DE GEORGES HUMBERT.

IX. — Centres et foyers singuliers des cycliques homofocales.

142. Nous avons appele conique principale d'une cyclique l'hyperbole equilatere qui passe par les quatre poles principaux et le centre de la cyclique : cette conique est le lieu des centres des coniques inscrites dans la cyclique.

La conique principale passe par les milieux des droites qui joignent deux a deux les quatre foyers de la cyclique, situes sur un quelconque des cerclcs directeur s.

Gonsiderons, en effet, les quatre foyers d'une cyclique S, situes sur le cercle directeur dont le centre est le pole principal 0. Le lieu des centres des coniques circonscrites au quadrilatere forme par ces quatre points est une conique qui passe par les points de rencontre des cotes opposes et des diagonales de ce quadrilatere, et par les milieux des six droites qui joignent deux a deux les quatre foyers.

On sait, de plus (nos 106, 124), que par les quatre foyers d'une cyclique, situes sur un cercle directeur, passe une conique (deferente), qui a pour centre le centre de la cyclique.

Si done on se reporte au theoreme du n° 110, on peut dire que les quatre poles principaux et le centre d'une cyclique, les milieux des droites qui joignent deux a deux les foyers situes sur un quelconque des cercles directeurs sont sur une conique, qui est evitlemment la conique principale de la cyclique. c. q. f. d.