Les cycliques homofocales ont memes directions axiales
Car les directions axiales d'une cyclique sont celles des asymptotes do la conique principale.
SUR LES COURBES DE (iENRE t'W.
145. Le lieu des centres des cycliques homo focales est la conique principale, commune d ces cycliques.
Car le centre d'une cyclique est sur la conique principale.
146. Dans une quelconque des coniques inscrites a it/ie cyclique, lesdeux foyers situe's sur I' axe (de celte conique) qui est parallele a une direction axiale donnee sonl sur une cubique circulaire, homo focale a la cyclique el ayant une asymptote parallele a la direction consideree.
En effet, d'apres le theoreme du n° 141, ces deux foyers sont les centres de cercles de rayon nul passant par deux points de la cyclique consideree S, conjugues dans un systeme parabolique : le lieu de ces foyers est done une cyclique S', homofocale a S. Mais, si Ton considerc la parabole inscrite dans S, dont Taxe est parallele a la direction axiale donnee (n° 136, Remarque), on voit qu'un des foyers etant a l'infini dans cette direction, la cyclique S' coupera la droite de Tinfini en cinq points. Elle se decomposera done en la droite de l'infini et-en une cubique circulaire, homofocale a S, dont une asymptote sera parallele a la direction axiale consideree (').
147. Remarque. — Dans un systeme de cycliques hornofocales ne figurent que deux cubiques circulaires, puisque, par un point du plan et en particulier par un point a l'infini, ne passent que deux cycliques du systeme.
Les deux cubiques que nous avons- rencontrees au paragraphe precedent, en considerant successivement les deux directions axiales. sont done les deux cubiques circulaires faisant partie du systeme de cycliques hornofocales a S.
Si Ton se reporte au theoreme du n° 13 i, on voit que :
148. Les deux cubiques circulaires hornofocales a une cyclique passent par les sommels, les points de rencontre des cdle's opposes et des diagona/es du quadrilatere forme par les quatre poles principaux de la cyclique.
(') M. Darboux a donne un theoreme analogue pour les surfacesdu qualrienie ordre qui admettent lc cercle a 1'iaBoi comnie ligue double (Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces alge'briques. p. 334 )•
Nous appellorons T la cubique circulaire homofocale a S, dont une direction asymptotique est parallele a la droite FF'; T, la cubique circulaire bomofocale a S, dont une asymptote est parallele a Ft F', .
149. Une droite parallele a FF' coupe la cubique T en deux points a distance finie : ces deux points sont les foyers d'une conique inscrite dans la cyclique S;le centre de cette conique etant sur la conique principal, on a cette proposition :
Dans une cubique circulaire, homofocale a une cyclique donnee, le lieu des milieux des cordes paralelles a la direction asymptotique reelle est la conique principale de la cyclique.
La conique principale est done la conique harmonique du point situe a 1'infini, dans la direction asymptotique, sur la cubique circulaire consideree. Si Ton se reporte a des proprietes connues des cubiques et si Ton re marque que la conique principale et la cubique consideree passent par les poles principaux de la cyclique S, on peut dire que :
Une cubique circulaire, homofocale a une cyclique donnee, a une asymptote commune avec la conique principale de la cyclique.
Les tangent.es menees a cette cubique aux poles principaux de la cyclique sont paralleles a cette asymptote.
150. Le lieu des foyers des coniqucs inscriles dans une cyclique est le mime que le lieu des foyers des coniques inscribes dans toute cyclique homofocale (*).
Ce lieu se compose, en effet, des deux cubiques circulaires qui ont memes foyers que les cycliques considerees.
