Le theoreme demontre au n° 146 peut s'enoncer ainsi
Le lieu des centres des cercles de rayon nul passant par deux points d'une cyclique, conjugues dans le systeme parabolique donne ou dans le systems complementaire, est une cubique circulaire, homofocale a la cyclique.
(') Foir, pour un theoreme analogue dans 1'espacc, l'ouvragc cite" de M. Darboux, p. 334-
SUR LES COURBES DE GENRE UN. l8l
Si les systemcs paraboliques consideres sont des systemes complementaires e{-\-e2, e\-he.,, la cubique circulaire correspondante passe par les foyers singuliersde lacyclique F et F' : ces points sont, en effet, les centres de deux cercles de rayon nul passant par deux points de la cyclique conjugues dans le systeme et + e., ou le systeme complementaire (n° 138).
Si done nous nommons axes d'une cyclique les deux droites rectangulaircs qui joignent le centre aux foyers singuliers de cette cyclique, nous aurons ce theoreme :
152. Dans une cyclique quelconque, homofocale a une cyclique S, les deux foyers singuliers situes sur I'axe qui est parallele a une direction axiale donnee sont sur une cubique circulaire, homofocale a S, ayant une asymptote par'allele a la direction consider ee.
Ainsi, le lieu des foyers des coniques inscrites dans une serie de cycliques homofocales et le lieu des foyers singuliers de ces cycliques coincident.
. X. — Intersections d'un cercle et d'une cyclique.
153. Nous avons vu comment, etant donnes le centre d'une cyclique et trois des points communs a cette courbe et a une droite, on pouvait determiner le quatrieme point commun. Nous allons traiter une question analogue pour les points d'intersection d'un cercle et d'une cyclique.
154. A et B etant deux points dune cyclique conjugues dans un systeme donne, s, la perpendiculaire elevee au milieu M du segment AB enveloppe une conique V.
Cette conique a pour centre et pour foyers le centre et les foyers singuliers de la cyclique.
On obtient la mime conique quand on considere, au lieu du systeme de conjugaison donne, le systeme complemcntaire .
Soient, en effet, sur la perpendiculaire elevee au milieu M du segment AB, les points A, et B,, definis comme au n° 132, e'est-a-dire
tels que
MA.^MB.^MAv/^T.
Soient
a, b les points nouveaux oil la droite AB coupe la cyclique considereeS; A', B'; a', b' deux couples de points respectivement conjugues dans les
systemes s et — s, et situes sur une meme droite ; a,, bt; A\, B't ; aj, b\ les points definis a l'aide des points a, b; A', B';
a', b', comme les points A, et B, le sont a Taide des points A et B.
Les points A,, B,, a[, b\; a{, bt; A\, B, sont sur une cyclique S', homof'ocale a S (n° 132).
Les points A, B; a', b' sont sur un cercle (n° 97) : je dis qu'il en est do meme des points A,, B, ; a\, b\.
Soit, en effet, L le point d'intersection des droites AB, a' b' . On a, puisque A, est le centre d'un cercle dc rayon nul passant par A et B,
LA^ = LBi* = LA,LB;
de meme
Mais A, B; a', b' etant sur un cercle, on a
LA. LB = Ld.LV
et, par suite,
LaT == LliT = Ld* — LV~l .
Les points A,, B, ; a\, b\ sont done sur un cercle de centre L; de meme les points A',, B', ; a,, bx. D'un autre cote, les points A,, B,; a,, bs sont evidemment sur un cercle, ainsi que les points A'(, B, ; a\ , b\ . II en resulte que, sur la cyclique S', les points A,, B, ; A',, B^ sont conjugues dans un meme systeme — a-, et que les points a,, b{ \ a\, b\ sont conjugues dans le systeme a.
Par consequent (n° 114) :
Les droites A,B(, at b{, A^B'j, a\b\, ... louchent une conique V inscrile dans la cyclique S'.
Le centre de cette conique est, sur la perpendiculaire elevee a la droite AB, a egale distance des perpendiculaires A,B, et ; or cette perpendiculaire (n° 121) passe par un point fixe qui est le centre de la
SUH I.ES COUKBES OE GEN K E UN.
cyclique S; il en resulte que le centre de cette cyclique coincide avec le centre de la conique V.
Les axes de la conique V sont paralleles aux directions axiales de la cyclique S' et, par suite, coincident avec les axes de la cyclique S (n°- 126-144).
Les foyers de la conique V sont les points a distance finie oil l'axe FF' coupe la cubique T et ou l'axe F, F', coupe la cubique T, ; ce sont done les points F, F', F,, F', eux-memes (nos 146-152). c. Q. f. d.
Corollaire. — Si le systeme considere s est un des systemes principaux, la conique V est une deferente (n° 107). Par suite :
155. Les coniques deferentes d' une cyclique ont pour foyers les foyers singuliers de cette courbe.
Soit maintenant un cercle quelconque de centre K coupant une cyclique S aux quatre points (a distance finie) A, B, a', b' ; soient M et m' les milieux des cordes AB et a b' . Les points A ct B sont conjugues dans un systeme les points a' et b' le sont dans le systeme — s (n° 97).
En vertu du theoreme precedent, les droites KM et Kmr touchent une conique V, dont les foyers sont les foyers singuliers de la cyclique S. On peut done dire, en s'appuyant sur une propriete bien connue des coniques, que les bissectrices des droites KM et Km' (qui sont paralleles aux bissectrices des droites AB et a' b') coincident avec les bissectrices des droites KF et KF', qui joignent le point K a deux foyers singuliers conjugues F et F' de lacyclique S.
En d'autres termes, si nous nommons cordes communes a une cyclique et a un cercle un des trois systemes de deux droites qui passent par les quatre points, a distance finie, oil le cercle coupe la cyclique, nous avons ce theoreme- :
1 56. Les bissectrices de tout systeme de cordes communes a une cyclique el a un cercle coincident avec les bissectrices des droites qui joignent le centre du cercle a deux foyers singuliers conjugues de la cyclique.
Ce theoreme permet, etant donnes deux foyers singuliers conju-
gues F et F' d'une cyclique et trois points communs a cette cyclique et a un cercle, de determiner sans ambiguite Ie quatrieme point d'intersection des deux courbes. Soient, en cffet, trois points A, B, a' d'une cyclique, situes sur un cercle, dont nous designerons le centre par K. On menera par ce point ia droite KM perpendiculaire a AB, puis la droite Km' symetrique de la precedente par rapport aux bissectrices des droites KF et KF'; le quatrieme point b' , commun au cercle et a la cyclique, est le symetrique du point a' par rapport a la droite Km'.
Corollaire. — Les bissectrices de tout systeme de cordes communes a une cyclique et a un cercle ayanl son centre sur un des axes de la cyclique sont paralleles aux axes de cette courbe.
157. Problkme. — Construire une cyclique connaissant les foyers singuliers el qualre points de cette courbe, non situes sur un cercle.
On construira autant de points de la cyclique qu'on voudra par la methode suivante :
Soient a, (3, y, £ les arguments des quatre points donnes. En appliquant la construction du paragraphe precedent, on determinera sur le cercle (a, (3, y) qui passe par les points d'arguments a, [3, y le point de la cyclique dont l'argument est — (a + p+y); et de meme, sur les cercles (a, [3, o), ((3, y, o), ([3, y, o) les points d'arguments — (a -+- [3 ■+- S ) , — a + y -h o), — ([3 + y + o).
On combinera ensuite tous ces points trois a trois et l'on obtiendra, comme on le voit aisement, de nouveaux points de la cyclique, et ainsi de suite.
Tangente en un point. — On peut construire la tangente a la cyclique en un de ses points, le point a par exemple.
On determinera surlecercle (a, y, (3) le poinld'argument — (« + y-t-(3) » sur le cercle ((5, y, — y — [3 — a) le point » a + (3 — §
» surlecercle (a, o, a -t- (3 — 8) le point » —2a — (3.
Le cercle (a, (3, — 2a - P) sera tangent a la cyclique au point a ; il coupe, en effet, cette courbe aux points d'arguments a, (3, —2a — [3, et son quatrieme point d'intersection avec la cyclique aura pour argu-
SUn LES COUIUSES DK GENRE UN.
ment
— a — j3 2« -j- (3, c'est-a-dire a. c. Q. r. d.
Cercle osculaleur en un point. — Supposons construites les tangentes a la cyclique aux points d'arguments a et (3.
On determines sur le cercle (|3, (3, — 2« — (3) le point d 'argument 2a-:, » sur le cercle (a, |3, 2a — (3) le point » — 3a.
Le cercle (a, a, —3a) coupera la cyclique en un quatrieme point u" argument — a — a + 3a, c'est-a-dire a, et sera par suite le cercle osculateur a la cyclique au point a.
158. Remarque. — Si les quatre points donnes sont sur un cercle, il faut que les bissectrices de tout systeme de deux droit.es qui passent par ces points soient paralleles aux bissectrices des droites qui joignent le centre du cercle a deux foyers singuliers conjugues F et F' donnes.
Si cette condition n'est pas remplie, la cyclique cherchee sera la courbe du quatrieme degre formee par le cercle donne et la droite de I'infini comptee deux fois.
Si cette condition est remplie, il y aura une infinite de cycliques repondant a la question, et il faudra eonnaftre un nouveau point de Tune d'elles pour la determiner.
159. On peut completer de la maniere suivante le theoreme du n° 151.
Soient A et B deux points d'une cyclique S, conjugues dans le systeme s. La perpendiculaire elevee au segment AB en son milieu enveloppe une conique V; nous savons d'ailleurs (n° 114) que la droite AB enveloppe une conique frinscrite dans la cyclique S.
Si I' on fait tourner la conique V de 900 autour de son centre, elle devient homothelique a la conique C .
Prenons pour axes, en coordonnees cartesiennes, les axes de la conique C. Soient A et B (?w figure, p. 186) les deux points conjugues dans le systeme s, 011 la tangente au sommet H de cette conique coupe la cyclique S ; a' et b' les deux points conjugues dans le systeme — s
situes sur la tan gen te au sommet W. Soit
(.r — a y -+- (v — (3 )» — ll2 = o
['equation <lu cercle de contact de la conique C; le centre P(a, (3) de cc cercle est le centre de la cyclique S ct celui de la conique V.
ft'
Les axes de cette derniere conique sont, en direction, paralleles a ceux de C (nos 154, 140), et, en grandeur, ce sont les distances du point P aux droitcs elevees perpendiculaircmcnt aux segments AB, a' b' en leurs milieux.
Or on sait que le produit HA. 1113 est egal a la puissance du point H par rapport au cercle de contact de la conique C (n° 1 19, § IV); on a done
UA. HB = (a)* + (b — (3)a — R2,
de meine
lT a', lib1 — ( a — a)1 + |32 — \V. Les points A, 13, a', b' etant sur tin cercle, on a
GA. GB = Get'. Gb'
ou
(UA - a) (lUi - a) = (W a' — b) (Wb' — b).
Rcmplacant dans cette egalite les produits HA.IIB, Wa'. lib' par leurs valeurs, il vient
a{2«- HA - HB) =6(2(3 — Wa' — B'b').
D'apres ce qu'on a dit plus haul, les longueurs des axes de la
conique V sorit:
Pour 1'axe parallele a Ox a — -( HA 4-HB);
Pour I'axe parallele a 0/ (3 — ~ (H'a'-H H'b').
Le theorems est done demontre, en vertu de I'egalite precedente.
160. Remarque. — Le point M milieu de la droite AB est, d'apres cela, situe sur la courbe, lieu du sommet d'un angle droit dont les cotes restent tangents a deux coniques, C et Y, homothetiques a 90°. II en est de merne du point m', milieu du segment a'b'. Or le lieu precedent est, comme le calcul le montre aisement, une courbe du huitieme degrc, qui se decompose en deux cycliques, ayant chacune un point double a distance finie. Si Ton se reporte au theoreme general du n°83, on peut enoncer les resultats suivants :
Le lieu du milieu du segment forme par deux points d' une cyclique S conjugues dans un systeme donne est une cyclique ayant un point double a distance finie.
Le lieu du milieu du segment forme par deux points de la cyclique S conjugues dans le systeme complementaire du premier est une seconde cyclique a point double.
V ensemble de ces deux cycliques est le lieu decril par le sommet d'un angle droit dont les cotes restent respectivement tangents aux coniques C et V, definies plus haul.
