XI. — Theoremes divers
161 . Les quatre cercles directeurs d un systeme de cycliques homo focales font partie de ce systeme.
Soit, en effet, un cercle de rayon nul passant par deux points d'une cyclique S, conjugues dans un des systemes principaux, le systeme o par exemple. La puissance, par rapport a ce cercle, du pole principal 0, de la cyclique est egale au carre du rayon du cercle directeur de centre 0, (n.° 101) et, par suite, le centre du cercle de rayon nul considere est sur le cercle directeur precedent.
Uu cercle directeur d'une cyclique est done le lieu des centres des
oku v res nr. georoes Humbert.
cercles du rayon nul passanl par deux points de cette cyclique conjugues dans un systeme principal. c. q. f. d.
162. Le lieu des pieds des normales abaissees du centre d une cyclique sur les coniques inscriles dans celte cyclique est la conique principale.
On le verifie immediatement par le calcul, en partant de l'equation generate des coniques inscriles dans une cyclique. Par consequent :
163. Le lieu des pieds des normales abaissees du centre d'une quelconque des cycliqucs d un systeme hornofocal sur les coniques inscriles dans cette cyclique est la conique principale du systeme.
164. Nous savons que la perpendiculaire elevee en son milieu au segment forme par deux points d'une cyclique S, conjugues dans un systeme principal, enveloppe une deferente de cette cyclique. D'apres ce qui a ete dit au n° 154, celte deferente est inscrite dans la cyclique S', homofocale a S, qui est le lieu des centres des cercles de rayon nul passant par deux points de S conjugues dans le systeme principal considers;.
Si ce systeme est le systeme o, la cyclique S' sera le cercle directeur de centre 0, et, par suite, d'apres le theoreme precedent :
Les pieds des normales abaissees d'un pole, principal d'une cyclique sur la deferente corrcspondante sont sur la conique principale de la cyclique.
165. Le lieu des foyers singuliers des cycliques d'un systeme homofocal coincident avec le lieu des foyers des deferentes de ces courbes (n° 155).
Or les deferentes correspondant a un meme pole principal passent par les quatre foyers situes sur le cercle directeur dont ce pole est le centre.
Par consequent :
Le lieu des foyers des coniques passant par quatre points situes sur un cercle se compose de deux cubiques circulates, ay ant ces quatre points pour foyers (Sylvester).
Ces deux cubiques passent par les points de rencontre des cod s
SUR LES COthjRBES DE GENRE UN. I 8q
opposes ct des diagonales du quadVilatere forme par les quatre points. Elles passent egalement par le cent.re du cercle sur lequel ces points sont situes.
