B2 - AC = S + M
ou
c'est-k-dire
S ■+- AU = (Aw + B)s — M!-(Aw+ B + M) (Au + B- M).
Par consequent, les points coinmuns a la cyclique S et au cercle U sont a l'intersection de ce cercle avec les deux cercles
A co + B -+- M = o, Aw + li — M = o. Or le cercle Aoj + B+ M a deux points fixes, quel que soit w, et ces
I QO OEUVRES HE GEOV.f, < S HUMBERT.
deux points sont situes sur S, puis • i Ton fait dans l'identite precede nte
A = o et li -!- M — o,
on trouve
Si=o.
II en resulte que deux des points communs a la cyclique S et au cerclc U sont situes sur un le passant par deux points fixes de S, c'est-a-dire out des arguments Jc. somme constante. c. q. v. d.
168. Corollaire I. — Deux d> points communs a une cyclique et a un cerclc qui louche deux cerclc d'un mime systeme, bilangenls d cette cyclique, sont conjugues dans un s \ Mime fixe.
Corollaire II. — Les cercles qui p>issent par deux points dune cyclique conjugues dans un systeme donne, qui touchent un cercle fixe bitangent a la cyclique, touchent un second c '/xe, bitangent a la cyclique et du meme systeme que le premier.
Corollaire III. — Les cercles qui passent par deux points d'une cyclique conjugues dans un systeme donne, et par un foyer de la cyclique, touchent un cercle, bitangent a cette courbe.
Corollaire IV. — Les quatre foyers, situes surun cercle directeur, d'une cyclique S' inscrite dans une cyclique S, sont sur une cyclique homo/ocale a S (Darboux).
Car ces quatre points sont les c le cercles de rayon nul pas-
sant par deux points de S, conjugue- dans un meme systeme.
'APPL1 CATION
LA THEORIE DES F01N HONS FUCHSIENNES
A L'ETl'ltE DES COURBES ALGEBRIQUES
{Journal de Math ie serie, t. II, 1886.)
1. M. Poincare a demon tre qu'< t pent tou jours exprimer les coordonnees des points d'une courbe algebrique en fonction fuchsienne d'un parametre : c'est ce resultat capital qui a servi de point de depart au present Memoire, et nous a p'ermis d'appliquer aux courbes de genre quelconque les principes et la inethode dont nous avons fait usage, dans un autre travail, pour etudier les courbes de genre un.
On connait la relation intime qui existe en tre la Geometrie sur une courbe algebrique et la theorie des integrales abeliennes qui appartiennent a cette courbe : c'est Clebsch qui a mis le premier cette relation en evidence dans son beau Memoire Sur I' application des fonctions abeliennes a la ge'ometrie, public au Journal de Cre/le, t. 63 ; il est revenu sur la question, avec plus de details, dans ses Legons sur la Geometric , recueillies et completees par M. Lindeniann.
II resulte de ces travaux que le theoreme d'Abel et les elements de la theorie de 1'inversion des integrales abeliennes de premiere espece permettent de trailer, d'une maniere complete, la question de I'intersection d'une courbe algebrique et d'une courbe adjointe quelconque, et de resoudre, en part iculier, dans le cas des courbes adjoinles, le probleme dit des courbes de contact.
Pour les courbes non adjointes, il faut introduire en outre des inte-
grales de troisieme espece; la question se rattache alors au probleme de l'inversion etendu, ctClebsch ne 1' pas traitee d'une maniere generale, au point de vue geometrique.
L'emploi des fonctions fuchsienntf.-s nous a permis de combler cette lacune, sans recourir a la theorie des integrates de troisieme espece: nous avons d'ailleurs envisage la question de l'intcrsection d'une courbe algebrique et d'une courbe quclconque, adjointe ou non adjointe, a un autre point de vue que Clebsch.
Clebsch se preoccupait specialernent des relations qui lient les coordonnees des points d'intersection; nous avons, au contraire, examine celles qui lient les parametres dont depend l'equation de la courbe secante, soumise a certaines conditions; et nous avons pu ainsi, dans le probleme des courbes de contact, donncr non seulement les proprietes des systemes de points de contact, comme l'a fait Clebsch dans le cas particulier des courbes adjointes, mais indiquer la forme de l'equation generate des courbes de contact, et en deduire des proprietes geometriques de ces courbes elles-memes.
Les cinq premiers paragraphes de notre travail sont consacres a l'exposition de quelques proprietes importantes des fonctions fuchsiennes et thetafuchsiennes: en particulier, on demontre au paragraphe III une proposition purement algebrique, relative aux zeros et aux infinis d'une fonction fuchsienne, proposition identique, au fond, au theoreme d'Abel et qui joue dans notre. theorie le role que joue, dans la theorie des courbes de genre un, le theoreme de Liouville sur les zeros et les infinis d'une fonction doublement periodique.
Dans les paragraphes VI-X, on expose les principes de la representation des coordonnees' des points d'une courbe a l'aide des fonctions thetafuchsiennes, et Ton etudie l'intersection d'une courbe de genre p et d'une courbe adjointe. On est ainsi conduit a distinguer deux especes de courbes de genre p.
Dans les paragraphes XI-XII, on aborde la question de l'intersection d'une courbe de genre p et d'une courbe quelconque, et Ton traite le probleme general des courbes de contact.
On termine enfin par l'etude sommaire de quelques courbes speciales, des courbes hyperelliptiques en particulier.
2. Parmi les modes de representation en fonctions fuchsiennes,
APPLICATION DE LA THEOKTE OES FONCTIONS FUCHSIENNES. ig3
indiques par M. Poincare pour les coordonnees des points d'une courbe de genre p, celui que nous avons adopte est le suivant.
Soit R0 un polygone fuchsien de la premiere famille de 4 P cotes, et tel que les cotes opposes soient conjugues : tous les sommets de ce polygone appartiennent alors a un meme cycle, et Ton pourra supposer que la somme de tous les angles de R0 est egale a 27c. Un tel polygone definit un groupe fuchsien G, et il sera toujours possible de determiner les parametres de ce groupe, de telle sorte qu'etant donnee une relation algebrique quelconque f{x,y) =0, on puisse poser x = F(Y), y=v (z), F et <p etant deux fonctions fuchsiennes du groupe G.
Remarque. — Soient ab et a, b, deux cotes opposes de R0, tels que les points a et b correspondent respectivement aux points a, et bt ; il resulte des travaux de M. Poincare que, si Ton decrit le perimetre du polygone en partant de a dans le sens ab, le cote conjugue sera parcouru dans le sens bK a,.
I. — Fonctions thetafuchsiennes holomorphes du premier degre.
3. Soit @ (z) une fonction thetafuchsienne de groupe G, holomorphe a l'interieur du cercle fondamental, et de degre m, c'est-a-dire
telle que Ton ait, (^z,^ ®tant une ^es substitutions de G, (1) & Ql^j = ® {z){vz +vy>*,
en supposant Agj — fxv = 1 .
Dans le cas que nous considerons, la somme des angles du polygone R0 etant egale a 2 tz, les sommets de ce polygone ne sont pas, en general, des zeros de la fonction 0 (s): le nombre des zeros de cette fonction dans l'interieur de R0 sera, d'apres une formule donnee par M. Poincare, egal a 2 m(p — 1).
Bien que M. Poincare, en etudiant les fonctions qui satisfont a I'equation (1), ait suppose que m designait un entier superieur a l'unite, la formule precedente, dont la demonstration ne s'appuie que sur la relation (1), est egalement applicable au cas m = 1 : la fonction thetafuchsienne correspondante est alors du premier degre.
OiLVnES TtF. C. HUMBERT, T. I.
II est facile de dernontrer l'existence de fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre un, et de donner une expression analytique de ces fonctions.
Soient, en efTet, x{, x.2, x3 trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre m ; posons x = — ,y = — : les deux fonctions f'ueh-
siennes x ety seront liees par une relation algebrique / (x, y) — o, que nous ecrirons aussi f(xif x2, x3) = o.
II est aise de determiner lc des;re de cette relation. Soit k le nombre des zeros communs aux trois fonctions xt, x.2, x3 : les fonctions x et y auront, dans R0, im(j>— i) — k infinis, ces in finis etant d'ailleurs les memes pour les deux fonctions, et, par suite, une droite
ax + by + c = o
coupera la courbe/ = o en 2m(p ~i)—k points : le degre de cette courbe sera done im (p — i) — k.
II n'existera, cemme on le voit aisement, qu'un cas d'exception, celui ou les equations
a designant l'affixe d'un point quelconquc interieur a H0, auraient, dans l'interieur de ce polygone, d'autres solutions communes que la solution z — a.
Si nous ecartons de cas particulier, nous pouvons dire que la courbe / = d est de degre 2 m (p — 1) — k, et qu' a un point de cette courbe ne correspond, dans l'interieur de R0, qu'une seule valeur de l'argument z.
