Cela pose, considerons 1'expression
P (37, y) dx P (xux,, .r3) / dxj, dx\ \
ou P (x, y) est le premier membre de l'equation d'une courbe de degre n — 3 [ etant pose 2 m (p — 1 ) — k = n ], adjointe a la courbe /=o.
II est clair qu'on a
(3) .fi.(A£±£)=fi(,)(v,-4.«B)»." . V ^1
APPLICATION DE LA THEORIE DES FONCTIOWS FUCIISIENNES. I y5
Je dis d'ailleurs que 0 (z) est holomorphe a I'interieur de Rfl : on voit en effet, par la deuxieme expression de cctte fonction, qu'elle ne peut devenir infinie que pour les valeurs de z qui annulent f'Xt,
Or on a
X\ fx, -t" + ^3 fxt —nf—o, d&i t, , dxt dx3
x3 et ne devenant pas infinis dans I'interieur de R0, les valeurs de z qui annulent /'..verifient les equations
et par suite, annulent le determinant x{ — Xz^p > a moins qu'on
n'ait a la fois/^ =/„ = = o.
Dans la premiere hypothese, le numerateur de 0 est nul, en meme temps que le denominateur, et la fonction reste finie ; clans la deuxieme, deux cas pourront se presenter :
Ou le zero commun des fonctions fx\ = f = /,. sera un des k zeros communs a xt, x2, x3, et 6 (z) reste fini pour ces valeurs de z, comme le montre la premiere expression de la fonction; ou le zero commun sera I'argument d'un point double de/, argument qui, par hypothese, annule P (x{, x.,,x3), et 0 reste encore fini.
II resulte de cette discussion que 0 (z) est une fonction thetafuchsiennedu premier degre, holomorphe dans I'interieur du polygone R0.
Cherchons maintenant quels sont, dans ce polygone, les zeros de la fonction.
En partant de l'expression
et en remarquant que les infinis de e'est-a-dire les infinis de x et y, ou les zeros de xa, n'annulent pas 6 (z), on voit que les zeros de cette fonction seront :
i° Les zeros de P (x, y) n'annulant pas / , e'est-a-dire ne correspondant pas a un point singulier de/: leur nombrc est egala celui des
196 OEtJVRES DE GEORGES HUMBERT.
points communs aux courbes P = o et/ = o, distincts des points singuliers decette derniere, c'est-a-dire a i (p' — 1), p' etant le genre de !a courbe/ = 0.
20 Les zeros de^qui n'annulent pas fy. Or la relation
dx dy
montre qu'un tel zero, afl, doit annuler^; done, dans le voisinage du point z — a0, x et y se developpent en serie de la forme
1 / so ( ^'X\
X = -xa -+- — - ( x — )H 1 ■+-...,
d'ou
7) = /(•*<»>) + A(.r — .r0)2 -+- B(j— jo)2 +. . .,
/; = 2i!(v-Jo)+...
et f'y s'annulera egalement pour z — a0. II en resulte que 0 (z) n'a, dans le polygone R0, que 2 (/?' — 1 ) zeros.
Or une fonction thetafuchsienne holomorphe du premier degre, de groupe G, a, dans R0, 2 (p — 1) zeros; on a done p' = p, et la courbe f = 0 est de genre p. Ainsi :
Trois fonclions thelafuchsiennes t/e degre m, ayant
k zeros commons dans le polygone generateur, et lelles que les e'qua-
( Z t 3C ( Z 1 OC ( Z ) •
lions 1 ~ = " = 3 riaient pas dans ce polygone a" autre xi(oc) x2(oc) x3(cc)
solution que z = a, sont liees par une relation algebrique homogene f — o d'ordre 2 m (p — 1 ) — k et de genre p.
Les arguments des points autres que les points singuliers, ou la courbe f — 0 est coupee par une courbe adjointe quelconque d'ordre 2 m (p — 1) — k — 3, sont les zer^os d une fonction thetafuchsienne, holomorphe dans le cercle fondamental et de degre un.
5. La courbe f = 0, etant de genre/), admet p courbes adjointes d'ordre n — 3, dont les equations sont lineairement distinctes : nous
pourrons ainsi, en partant do l'expression (2), former /> fonctions thetafuchsiennes holomorphes et de degre un, 0,, 0,, 0 qui sont evidemment lineairemcnt independantes.
Je dis que toute fonction thetafuchsienne holomorphc de degre un 9 (z), est fonction lineaire et homogene des precedentes.
En effet, le rapport . dx > etant une fonction fuchsienne, s'exprime
rationnellement en fonction de x ety ('). On pent done ecrire
P (x, y) etant une fonction rationnelle. On demontrerait aisement, comme. dans la theorie des integrates abeliennes, que 6 (z) ne peut rester fini dans le polygone R0 que si P est un polynome entier et la courbe P = 0 une adjointe a la courbe / = 0, de degre n — 3.
