II. — Periodes

6. Soient 6,, 02 9 p fonctions thetafuchsiennes holomorphes du premier degre, lineairement distinctes.

Considerons l'integrale

A z -+- \L ,V Z -+-CT

etant une des substitutions du groupe G : cette integrale a

(') On a en effet, en designant par u une fonction fuchsienne, y{u,x) = 0, <h(u,y) = o,

cp et <]; etant deux fonctions algebriques : u est done une fonction rationnelle de x etde 7, a moins qu'a des valeurs x ( a), y ( a) de x et y, correspondant a un raeme point de la courbe = o, ne corresponde plus d'une valeur de u; ce cas ne peut se presenter que si les equations x (z) — x (a), y (z) —y ( a) ont, dans R0, d'aulres solutions communes que 3 = a, hypothese que nous avons ecartee.

igS OEUVKES DE GEOUGES HUMBERT.

une valeur independante de z, car en vertu de(3).

Soient S, (z), S2(s) deux substitutions du groupe G : on a identiquement

/S,[S,(c)] *8x{si /»S,|St(s)|

B,{z)dz = 9/c(z)dz + 9,{z)dz.

Or la derniere integrale est, d'apres ce qui precede, egale a

II en resulte que, endesignant par S(s) une substitution quelconque du groupe G, on aura

Qk ( z ) dz = m co* + m'o', -+-...+ mf^-'Jco^/'-",

aw, w', ... etant des entiers, et coA, u>'K, ... designant les valeurs de Pintegrale correspondant aux2/? substitutions fondamentales de G, c'est-a-dire aux substitutions qui transformentrespectivement Tun dans l'autre les cotes conjugues du polygone R0.

Si au lieu de 6* on considere une autre fonction analogue 0/, on aura de meme

/Sis) 9 1 ( z) dz = mw -+- m'dij -+- . . . ,

m, m' , ... etant les memes que dans la relation (4), puisque ces entiers ne dependent que dela maniere dont S est formee a l'aide des substitutions fondamentales.

Les quantites wA. sont evidemment les periodes de I'integrale abelienne de premiere espece

J Jy