III. — Zeros et infinis des fonctions fuchsiennes
7. Soil. F(s) une fonction fuchsienne quelconque d'ordre [/., c'esta-dire ayant ix zeros ct tu. infinis dans l'interieur de R0. L'integrale
r oA.(S)dz 3 -J VUj^TS
ou u designe une constante arbitraire et 0A une fonction thetafuchsienne holomorphe du premier degre, est nulle le long du perimetre dcR0. Soient en efl'et ab et a{ b, deux cotes conjugues de ce polygone,
tels que, par la substitution ^z, ^rqr^)> ab se transforme en a{ b,.
D'apres une remarque faite au n° 2, si Ton decrit le perimetre de R0, a partir de a, dans le sens ab, on decrirale cote conjugue de ab dans le sens b{ a,. La partie de l'integrale relative a ces deux cotes sera done
, rb Qk{z)dz rK djMdzt ' ~J„ F(s)>« Jai F(Sl)-«"
Soit s, le point de l'arc a, b{ qui correspond au point z de 1'arc ab. On a
F(s.) = F(z), h(**:)^Mz) O + gO2, d*t.=d*(vz et, par suite,
Qk{z)dz Bk{zx)dzx ¥(z)-u F(*,) — u*
ce qui entraine i — o. On a done aussi, le long du perimetre deR0,
En designant par a, , a2, . . . , les \x zeros de ¥ (z) — u compris dans l'interieur de R0 , il vient par suite
Or, si dans ('equation F(a) — u — o, on jconsidere a comme une fonction de u, on a
F' (a) dy. = <Y«,
et, par suite,
o = 8k (a,) dai -J- 8 k (a,) da2 -+•....
Faisons varier u depuis la valeur u consideree jusqu'a une valeur u', les zeros a, . . . varieront d'une maniere continue et prendront finalement les valeurs a', , a'2, . . . ; on aura done
(5) o = / 8k(<xl)dal I 9k(cx2)dcx2-{-. . . .
II peut arriver que, dans leurs variations, une ou plusieurs des quantites a sortent du polygone R0 : si a',, par exemple, est en dehors de ce polygone, designons par (3, le point correspondant dans R0.
On a
/ 8k{z)dz = 8,c{z)dz+ 8k{z)dz.
■Ax, -4, ^p,
Or la derniere integrate est (§ II) de la forme m(ok-\-m'v>'k .
Si done on designe par (3,, (32, . . . les zeros de F(s) — compris dans R0, il vient
/ 8k(z)dz+ 8k{z)dz+...= huk + h'u'k+...,
A, A', . . . etant des entiers. En donnant successivement a k les valeurs i, 2, ...,£>, on obtiendra yo equations de cette forme, les entiers A, h! , ... etant evidemment les memes pour toutes ces equations. On a ainsi
2 J M*)<fr^ A«1 + AV,+...-!-/i<2''-,>w<2''-,>,
(6) <( , (1=1, 2, . . ., fi),
^ f 0p(*>rf«=,A<Bp-t-A,^-H...-t-Af»'-»>»»i-l>l
•Ax
Ces relations, si Ton se reporte a l'equation (2), reviennent manifestement au theoreme d'Abel, relatif aux integrales de premiere
espece.
En particulier, on peut, dans les equations (6), supposer que a,, a2, ... sont les zeros, (3,, (32, ... les infinis d'une fonction fuchsienne.
Le quotient de deux fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre m est une fonction fuchsienne : les equations (6) restent done
APPLICATION DE LA THKORIE DHS FONCTIONS FUCHSIENNKS. 201
vraies si Ton designe par a,, a2, ... les z6ros (rune de ces fonctions, par (3,, (3,, ... ceux de l'autre.
8. On peut deduire des equations (6) un theoreme dont nous f'erons souvent usage :
Toute fonclion fuchsienne d'ordre p — k peut Stre mise de k -+■ i facons differentes sous la forme du quotient de deux fonctions ihitafuchsiennes holornorphes du premier degre.
Plus generalement :
Soienl h fonctions fuchsiennes, d'ordre n, ay ant meme in finis el lineairement dislinctes : si Vinegalite p-\-h — n^> o est verifie'e, chacune de ces fonctions pourra se mettre, de p -+- h — n facons differentes, sous la forme du quotient de deux fonctions thilafuchsiennes holornorphes du premier degre.
En effet, F,, FA, etant h fonctions fuchsienne S d'ordre n, ayant les memes infinis, (3,, [J2, (J„, la fonction
/( = ) — ul F, -i- u.2F2 -+-. . .+ Uf, ¥/, 4- Uh+u
ou ... sont des constantes, a les memes infinis et Ton peut disposer de ut, ... de maniere a l'annuler pour h valeurs quelconques de z, X, , . . . , XA. Soient {/.,, . . . , [J-„A les n — h autres zeros de cette fonction. On a
/ 9k(z)dz + :..-hl \6k(z)dz+...-h 0*(5)ck = const.
d'ou, en derivant successivement par rapport aux quantites variables X, , . . . , XA,
(7) h{h ) + Bk ) ^ + . . . + Bii^pj^ = o,
(7blS) M*«) + 0*(f*l)^j + --- = <> (*=I,2,...,/»),
Soit, pour fixer les idees, p — n -+- h = i : les quantites u. sont au
<EUVRBS DE O. HUMBERT, T. 1. 26
nombre de p — i ; les equations (7) etant en nonibre p, on en conclut que les determinants formes avec/?— 1 lignes quelconques du tableau
0i (M M/M afe.) ... MF/,S)
mm ^
MM MfM
Mf*i>-»)
sont nuls; en vertu des relations (7 bis), etc., on obtient de meme des resultals nuls, en remplacant dans la premiere colonne de ce tableau A, par X2, X3,..., X„. II en resulte que les deux fonctions thetafuchsiennes holomorphes, de degre un et lineairement distinctes,
0,(fM
