fM

M.(fM ...

92(Fp-2)

MfM ...

s'annulent pour z = A,

[*<>•••» f^jB-a-

Les rapports -jf-, ■» sont ainsi holomorphes dans l'interieur du

polygone R0, et ce sont evidemment des fonctions thetafuchsiennes du premier degre, 90 et On a done

Une telle egalite subsiste, quelles que soient les constantes «, , u2,... et, en particulier, si elles sont toutes nulles, sauf une, e'est-a-dire si f(z) se reduil a F, (z), F2 (-),.. ,,FA(a). c. q. f. d.

9. Les equations (6) moritrent qu'on ne peut pas se donner arbitrairement les zeros et les inflnis d'une fonction' fuchsienne; p de ces quantites sont determinees par les autres.

De meme on ne pourra choisir arbitrairement plus de im(p — 1) — p des im (p—i) zeros d'une fonction thetafuchsienne de degre m.

II existe pourtant un cas d'exception : pour le decouvrir, supposons

APPLICATION DE LA T1IEORIE DES FONCTIONS FUCIIS1ENNES . 2o3

qu'on puisse former une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre ms'annulant pour 2 m (p — 1) — p-\-i zeros arbitrairement choisis, h\, A2, ....

Soient [/.,, [j.2,..., pt, les /> — 1 autres zeros; on aura, en differentiant successivement par rapport aux variables A les equations du theoreme d'Abel

(8) o = ^(XO*+M^)^^...+ ^(^1)^^ (* = »,*,

Les equations (8) etant au nombre de /> et les quantites au

nombre de p— 1, le determinant de ces equations est nul, et, par un raisonnement identique a celui qu'on a fait plus haut, on voit que tous les zeros de la fonction thetafuchsienne de degre m consideree annulent une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre un. On a done m — \.

Cette condition necessaire est aussi suffisante, car une fonction thetafuchsienne holomorphe du premier degre etant de la forme

«i #1 -+- «2 #2 4- • • • -H av Bp

pourra avoir p — 1 zeros quelconques, et les autres zeros, determines par les precedents, sont en nombre i{p— i) — (p — i)—p— 1 .