IV. — Fonctions thetafuchsiennes holomorphes
10. On peut deduire de ce qui precede le nombre M des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre m, lineairement independantes, e'est-a-dire le nombre de ces fonctions au moyen desquelles toutes les autres s'exprim en t lineairement.
On aura evidemment, puisqu'une telle fonction a 2 m(p — 1) zeros dans l'interieur du polygone R0, et que p de ces zeros sont determines en fonction des autres par les relations (G) :
(9) iou
D'un autre cote, trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes, de degre m, x, , x.lf x.)f n'ayant aucun zero commun, sont liees par une relation algebrique f (xt, x.2, x.t) = o, de degre im (p—i) ou n, et de genre p (§1). Une courbe P = o, de degre n~-3, adjointe a la courbe f=o, coupe cette derniere aux points singuliers et en 2 (p — 1) autres points; par ces points et les points doubles de f=o, dont le
noinbre est egal a— — — — — p, faisons passer des courbes de
degre n— 2 : leur equation generale renfermera, sous forme lineaire et homogene, un nombre de parametres arbitraires au moins egal a
Soit C,= 0 l'equation de Tune d'entre elles : la fonction de z
est evidemment une fonction thetafuchsienne de degre m; elle est d'ailleurs holomorphe dans le polygone R0, puisque, par hypothese, les zeros du denominateur annulent le numerateur. On pourra former ainsi (2m — 1) (p — 1) fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre m : je dis qu'elles sont lineairement independantes. S'il existait en effet une relation de la forme
2,Cli@i — o,
on en tirerait
laidlsciiz) . . .] = 0
et, par suite, la fonction 2a;Ci(icl,a72,^3),s'annulant en tous les points de la courbe /== 0, on aurait identiquement, quels que soient x{,
2 Cli C; ( Xt , X3 ) ~ ^-fi
A designant un polynome entier en a?,, x.2, x.t; mais les polynomes Ct etant de degre n — 2, et/ de degre n, A est mil, et Ton arrive ainsi a une relation lineaire et homogene entre les polynomes C,, ce qui est oontraire a l'hypothese.
On a done
Ml{2/n — \)(p — 1)
APPLICATION DE LA THEORIE IJES FOJNCTIONS FUCHSIEJVNES.
et, par suite, d'apres(()),
Cette formule n'estpas vraie pourra = i, parce que l'inegalite (9) n'estplus exacte '.p—i seulement ties zeros sont alors determines par les autres comme on l'a vu au n° 9. On a dans ce cas M == p.
11. II resulte de la valeur de M pour m > 1 qu'on peut toujours former une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre m ayant pour zeros 2 m(p — 1) — p quantites choisies arbitrairement ; les p autres zeros sont lies aux precedents par les p equations (6).
Peut-on en deduire qu'inversement 2 m (/> — 1) quantites satisfaisant a ces equations sont les zeros d'une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre ml Pour que cette conclusion soit legitime, il faut evidemment demontrer que, les valeurs ~k de 2m (p— 1)— p de ces quantites etant donnees, les equations (6) fournissent, pour les p autres [x, un seul systeme de valeurs, ou, s'ils en fournissent plusieurs, qu'il existe toujours une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre m s'annulant pour les valeurs \ donnees et pour les valeurs u. d'un des systemes correspondants.
Nous sommes ainsi conduit a la discussion des equations
(6) f '9!c(z)dz + f 'dk{z)dz+...
9k(z)dz -+- .. .4-/ 9k(z)dz = AuA-f ... (* = i, 2, p).
a,, (3,, $p designent les zeros d'une fonction thetafuchsienne holomorphe et de degre m, donnee, et quelconque d'ailleurs.
On obtient, en differentiant, les equations aux differentielles totales
o = dll Qk ( \ ) -hdl29k(l2) -+-... -h d[xl9,,{ixi) + ... + diJ.p 9k{pp) (k — 1,2, p).
On demontrerait sans difficulte, en suivant la marche adoptee par M. Briot pour la discussion des equations differentielles abeliennes, qui sont, au fond, identiques aux precedentes, que les relations (6) fournissent generalement, si At, A, ... sont donnes, un seul systeme de valeurs de a,, . . . , \lp : toutefois, pour certains systemes speciaux
de valeurs des X, s des quantites pi, p.,, p., peuvent etre choisies arbitraircment; les autres sont determinees sans ambiguite en function des preeedentes et des quantites A; p.,, pp sont alors des zeros de s fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre un, lineairetnent distinctes.
Or nous verrons plus loin ( § VIII ) que, dans ce -cas, on peut former v + i fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre m s'annulant pour z — X, , X2 , . . . . On pourra done former une telle fonction s'annulant en outre pour p.,, p.2,..., u.s, etles autres zeros de cette fonction seront necessairement, d'apres(6), les quantites pi5M, . . . , \xp.
II est done permis d'enoncer la proposition suivante :
Si 2m(p — i) quantites a,, a,, ... satis font aux relations
oil (32, ... sont les zeros dune fonction thStafuchsienne holomorphe de degre 'm, il exisle toujours une semblable fonction admettant pour zeros les quantites a, , a2, ....
Remarque. — Dans le cas de m>i, on pourra toujours, en vertu de la formule (10), former s fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre m, lineairement distinctes, ayant pour zeros
im{p — i) — p — s + i
quantites donnees, et en general on ne pourra en former que s. Mais il peut se presenter des cas d'exception que nous etudierons plus loin au point de vue geometrique; nous nous bornerons a enoncer pour l'instant la proposition suivante, qui se deduit immediatement du theoreme du n° 8.
Si s-<rp fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre m, lineairement distinctes, ont 2m(p — i) — p—s+i zeros communs, elless ont} de p manidres differentes, proportionnelles a des fonctions thetafuchsiennes de degre un.
APPLICATION in. LA THEORIE DES FONCTIONS J'UCIISIENNES. 207
V. — Expression des fonctions fuchsiennes a l'aide des fonctions thetafuchsiennes holomorphes.
12. SoitF(z) unefonction fuchsienne d'ordre n, admettant les zeros a,, «2, ... , a„ et les infinis $t, {$,',
Proposons-nous de mottre F(s) sous la forme du quolient de deux fonctions thetafuchsiennes holomorphes.
II est d'abord evident que ces deux fonctions devront, en general, avoir des zeros communs ; car, s'il en etait autrement, on aurait, en designant leur degre par pi, n — i\t.(p—i), et n serait divisible par 2 (p-i).
Supposons n compris entre les nombres
— i)(p — 1) — deux cas seront a distinguer suivant le signe de la difference
Premier cas : i^.(p—i)—n — p = o. — On pourra former une fonction thetafuchsienne holomorphe, de degre fx, 0, ayant pour zeros les n quantites (3, , (32, . . . , p\, et 2.[x(p— i)— n — autres quantites qu'on peut choisir arbitrairement, X,, X2, nous designerons par p,, p2, . . . , p/; les p derniers zeros de 0 (s).
Je dis mainlcnant qu'on peut former. une autre fonction holomorphe de degre fx, 0, (s), ayant pour zeros :
i° Les n zeros de F (z), a, , a2, . . . , a„ ;
2° Les 2 m (p — i) — n — p quantites Xn X,, ... ;
3° Les jo quantites p,, p,, p^.
11 suffit en effet de demontrer, puisque (3,, p\, X,, X2,
pn pp sont les zeros d'une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre p., qu'on a les relations
': = /iut + ...
OU
I Btl{z)dz +. . .+ f 6t(z)dz = AW+
Or ces dernieres relations sont veriUees, puisque par hypothese a,,...,a„ sont les zeros, (3 (3„ Ies infinis d'une fonction fuchsienne
F(s). La fonction fuchsienne^- (s)aura par suite memes zeros et memes
infinis que F(s), dont elle ne differera que par un facteur constant.
Second cas : 2|i.(j» — i) — n — /><o. — En ce cas, il sera generalement impossible de mettre F(s) sous la forme du quotient de deux fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre fx; mais on pourra employer deux fonctions de degre [x-f-i : en vertu du raisonnement precedent, il suffit, pour le demontrer, de verifier la condition
2 (JUL -t- I) (/3 — i ) — n — p^o
OU
Or cette inegalite est vraie, puisque par hypothese n est inferieur a 2[i.(jD — i) et que p est au moins egal a 2. En ce cas, on aura
t^^—Qiz^'
0O et 0 etant deux fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre (/.-*- 1, ayant 2 + 1) (/> — i) — n zeros communs, parmi lesquels 2((a -+- i)(p — i)— n — p peuventetre choisis arbitrairement.
Considerons maintenant deux fonctions fuchsiennes, F et F, ayant memes infinis : il resulte de ce qui precede qu'on pourra les mettre sous la forme
0O, 0'o, 0 etant des fonctions thetafuchsiennes holomorphes.
Remarque. — Les raisonnements precedents montrent que, si n quantitesa sont liees a n quantites (3 par les relations
rP, /.P«
on pourra former une fonction fuchsienne d'ordre n admettant les quantites (3 comme zeros et les quantites a comme infinis. II est clair d'ailleurs qu'on ne peut, a un facteur constant prcs, en former qu'une seule.
VI. — Expression des coordonnees des points d'une courbe algebrique.
13. Les coordonnees des points d'une courbe algebrique de genre/? peuvcnt, comme l'a montre M. Poincare, s'exprimer en fonction fuchsienne d'un parametre, 1c polygone R0 generateur ayant (\p cotes et etant determine comme nous l'avons rappele. On pourra toujours, par un choix convenable des axes de coordonnees, faire en sorte que les fonctions fuchsiennes de z qui representent les coordonnees x et j aient memes infinis; soit /z leur ordre commun.
Nous supposerons que les equations z=-~^ = i n'ont, dans le
polygone R0, d'autre solution commune que la solution z = a : la courbe S, decrite par le point (x, y), est alors de degre rc(§ 1). Soient
les deux multiples consecutifs do 2 (p — 1) qui comprennent n. On pourra, d'apres les resultats du paragraphe precedent, mettre x et y sous la forme
les fonctions thetafuchsiennes holomorphes Q, 0O, &'0 etant de degre [x ou [i. + 1 suivant le signe de la quantite 2jj.(/) — \) — n — p. Si Ton a
les coordonnees des points d'une courbe de degre n et de genre p pourront, en coordonnees homogenes, etre representees par trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre p.; on ne pourra employer, en aucun cas, pourcette representation, des fonctions de degre \x— i, parce que le degre d'une courbe ainsi definie serait au plus egal a 2([x— i)(yt? — 1), quantite inferieure a n par hypothese. Si Ton a
ip{p — i) — n—p<o,
2tO
lesfonctions thetafuchsiennes holomorphes de la representation seront, en general, de degre [/.-hi; toutefois, pour certaines courbes speciales de degre n, on pourra employer des fonctions de degre pi, puisque, par hypothese, 2 \t.(p — 1) est egal ou superieur a n.
II en resulte que les coordon n G 6 S OC j , <X/ .> , OC <j des points d'une courbe algebrique de genre p pourront se mettre sous la forme
(11) Xi= <0,4- <02 + . . .+ a}^,,,,,.,,©,,^.,,,,,.,, (1 = 1, 2, 3),
©,,02, ... designant (2^—1) (p — i) fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre jjl lineairement distinctes; et a1," , ... des constantes.
Inversement, toute courbe representee par des equations de la forme (R) sera du degre 2 a. (p—i)—k, k designant le nombre des zeros communs aux trois fonctions a;,, x.2, x:i, a condition toutefois que les equations
n'aient dans R0 d'autre solution commune que z = a.
La courbe, en ce cas, sera de genre p, comme il resulte des considerations developpees au paragraphe I.
VII. — Intersection d'une courbe de genre p et d'une courbe adjointe.
14. Soient x{, x2, xs trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre fx ayant k zeros communs. Proposons-nous d'etudier la courbe S decrite par le point (xif x2, x3).
Nous avons fait l'hypothese que les equations
n'ont, dans l'interieur du polygone generateur de f\p cotes, R0, pas d'autre solution commune que z — a : cette hypothese ne restreint pas la generality, car on demontre sans grande difficulte que, si elle n'est pas verifiee, la courbe Sestde genre inferieur hp; les coordonnees de
APPLICATION DE LA TIIEOIUE DES FONC.TIOMS FUCHSIENIN ES. 211
scs points peuvent done s'exprimer a I'aide de fonctions thetafuchsiennes de genre inferieur 'dp (*),
Nous supposerons de plus que les fonctions xn x.2, x3 ne sont ni de de degre un, ni, ce qui revient au meme, proportion nelles a des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre un : nous aurons a etudier ensuite le cas oil il en serait autrement.
Dans cette hypothese, je dis qu'il n'existe que (2[x — i) (p — i ) — k fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre (/., lineairement distinctes, et s'annulant pour les valeurs a,, a2, aA. des k zeros comrnuns a x{, x2, x3 : en effet, s'il en existait davantage, x{, x.>, x3 seraient proportionnels a trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre un (§ IV, Remarque).
De meme, il n'existe que [2(^/1 -\- p)— 1] (p - 1) — hk fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre [ih-\-p lineairement distinctes, et admettant au degre de multiplicite h chacun des k zeros a,, ...,aA.; car, s'il en existait un plus grand nombre, on voit qu'en designant par 0p une fonction thetafuchsienne quelconque holomorphe de degre p, les fonctions x'[ 0p; x'[~K x., ®p;x'l~* x3@p, qui admettent h fois chacun de ces zeros, seraient proportionnelles a trois fonctions de degre un ; il en serait par suite de meme de a?,, x.,, x3.
(') On peut s'en reridre compte de la maniere suivante. Supposons que la condition dont il s'agit ne soit pas remplie, et qu'a un point de la courbe S correspondent, dans R0, deux valeurs, par exemple, de I'argument z. Si
V (xx, X2, X3) — o
est I'equation d'une courbe de degre n — 3 adjointe a S, on voit, comrae paragraphe I, que la fonction
P(xu x2,x3) / dx-i dx^
est une fonctiou thetafuchsienne holomorphe de degre un, ayant par suite 2 {p — 1) zeros dans Rj. Or parmi ces zeros figurent les valeurs qui annulent P sans annulery^, e'est-a-dire les arguments qui correspondent aux points non singuliers oil P coupe S. Si p' est le genre de S, ces points sont en nombre egal a 2 (p' — 1) et les arguments correspondants sont au nombre de 4 (p' — 0- On a done
et par suite
15. L'etude des systemes de points communs a une courbe algebrique et a ses courbes adjointes constitue une des theories les plus importantes de la Geometrie sur une courbe; elle repose, comme l'a fait voir Clebsch, sur le theoreme d'Abel relatif aux integrates de premiere espece.
L'emploi des fonctions thetafuchsiennes va nous permettre de retrouver simplement la plupart des resultats connus de cette theorie, et d'en demontrer de nouveaux.
Dans tout ce qui suit, nous designerons par S la courbe de genre p et de degre n = 2|x (p— i) — k decrite par le point x,(z), x.2 (z), xi (z) '■> Par ai > • • • 5 a* les ^ zeros communs a xt , x2, x%.
Les propositions suivantes mettent en evidence la relation simple qui lie la theorie des zeros des fonctions thetafuchsiennes et celle de l'intersection d'une courbe algebrique avec ses courbes adjointes.
[. Soil C une courbe adjointe a S d'ordre n -+- q — 3; les arguments des points, autres que les points singuliers, communs a cette courbe el a S, annulent une fonction thHaf uchsienne holomorphc de degre fx^+i; les autres zeros de cette fonction sont les quantites a(, ock, chacune au degre q de multiplicite.
Inversement:
Soit 0(-) une fonction thetaf uchsienne holomorphe de degre fxy-t- i, admettant comme zero multiple d'ordre q chacune des quantites a, , . . . , aA ; les autres zeros de cette fonction sont les arguments des points, autres que les points singuliers oil la courbe S est coupee par une courbe adjointe de degre n + q — 3.
En effet, G '(xi,'Xi, x3) =o etant l'equation d'une courbe adjointe de degre n-+-q — 3, les arguments des n (n-\-q — 3) points oil cette courbe coupe S annulent la fonction C[xt(z), x2(z), x3 (z)], qui admet de plus les zeros a,, a/c, chacun au degre n-hq—3 de multiplicity. Cette fonction n'a pas d'autres zeros dans le polygone R0, car ceux dont nous venons de parler sont en nombre egal a
c'est-a-dire a
2(x(rc + q — Z)(p — i);
APPLICATION I)E LA T1IEORIE I)ES FONCTIONS KUCirSIENNES. 2 I 3
or la fonction C(a?,(s), ...J est de degre pi («•+•</ -3) et a par suite 2u.(n-{-q — 3) (f) — i) zeros dans le polygone R0.
Cela pose, soil P = o 1'equation d'une courbe quelconque d'ordre n — 3, adjointe a S, coupant cette courbe en i(p — i) points, distincts des points singuliers, dont les arguments verifient la relation 0 (-) =o; O(-) etant une fonction thetafuchsienne holomorplic du premier degre (§ I).
Posons
La fonction &(z) est evidemment une fonction thetafuchsienne de degre [x(rc q — 3) -h i — (x (n — 3) == u.q + 1 , dont les zeros, d'apres 1'expression precedenle, sont les zeros de C [xt (z), ...] qui n'annulent pas P [x, (z), ...], c'est-a-dire les arguments des points non singuliers oil C coupe S, et les quantites a,, aA, chacune an degre q de multiplicite. Elle est d'ailleurs holomorphe, puisque les zeros du denominates annulent le numerateur: les arguments des points non singuliers ou C coupe S et les quantites a,, aA, prises au degre q de multiplicity, sont done les zeros d'une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre \t,q-\-\. c. o. f. d.
Pour demontrer la reciproque, considerons ainsi toutes les courbes adjointes a S de degre n -hq — 3 et les fonctions C [xt (z), ... ] correspondantes, nous obtenons une infinite de fonctions = Cherchons combien de ces fonctions sont lineairement distinctes.
Les courbes d'ordre n+q — 3 adjointes a S et dont les equations sont lineairement distinctes sont en nombre au moins egal a
-(" + <? — a)(« + <7 — i) — nq + p — i + -(g — i)(q
soient C,=o, C2 — o, ... leurs equations.
Parmi les courbes figurent evidemment celles dont l'equation est
<p?3 designant un polynome quelconque d'ordre p — 3, homogene Ge polynome renfermant — — — — coefficients arbi-
traires, l'equation precedente fournit un nombre egal de courbcs adjointes d'ordre n-\-q — 3, lineairement distinctes, que nous choisirons pour les courbcs
^ni/-t-p — Of ^n^-Kp-t-i — - O, •••» ^J l — O.
nq+i> -1+ -'</—') '</— 2)
Or si, dans l'expression de on remplace CparS<p„3, on trouvc
un resultat nul, puisque S \x{ (s), ... ] = o : il ne nous reste ainsi que nq^-p—i fonctions 0(s), formees avec les premiers membres des equations des courbcs C,=o, C>1tq+p i=o.
Je dis que ces fonctions 0 (a) sont lineairement distinctes.
En elfet, par suite de ce qui precede, il n'existe pas, entre x{, x.,, x3, de relation identique de la forme
#l Ci -+- a2L2+ . . . + rt,K/+p i Cnq+p-l = Scp>
aif ... etant des constantes et cp un polynome de degre q — 3 en a;,, £03j se3. Or, si l'on avait une equation de la forme
c'est-a-dire
diC,[*i(s), ...]-+- a2C2[>2(s), . ..] -h. . . = o,
on en deduiraitque la fonction a, C, (x{, x.2, x3) + qui s'annule en
tous les points de la courbe S, est divisible par S ( ); on aurait ainsi
a,C,-H a,C2-K . .= Scp,
relation que nous savons etre impossible.
On obtient done, par le procede indique plus haut, nq-hp—i fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre u.q-\-i, lineairement independantes, et admettant au degre q de multiplicitc chacun des
zeros a,, aA.
Or les fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre txy-i- 1 qui admettent q fois ces k zeros sont en nombre au moins egal a
i%(pq+i) — i](p— I)— kq
— ( 2 + 1 ) ( /> — i ) — q[2^{p — i) — n] = nrj + p — I.
Elles ne sont pas en nombre superieur, ainsi qu'on l'a dit plus haut,
puisque cc2(z), x3 (z) ne sont pas proportionnels a trois fonc-
tions thetafuchsiennes holomorphes de degre un. II en resulte :
i° Que, par les points singuliers de S, on ne peut faire passer que
nq H- p — i -h - (q — i) (q — 2) courbes adjoin tes d'ordre n -+- q — 3
dont les equations soicnt lineairement dislinctes;
20 Que les zeros d'une fonction thetafuchsienne holomorphe de
degre fxy-t-i,qui admet q fois chacun des zeros a,, aA, sont les
arguments des points non singuliers 011 S est coupee par une courbe
adjointe d'ordre n+q — 3. c. q. f. d.
16. On demontrerait, en suivant une marche identique, les propositions suivantes, qu'on pourrait d'ailleurs deduire directement des precedentes.
II. Soil C une courbe adjointe a S d'ordre n -h q — 3, passant var les i(p — 1) points non singuliers communs a S el a une courbe adjointe quelconque d ordre n — 3 ; les arguments des autres points (non singuliers) oil eetle courbe coupe S annulenl une fonction thetafuchsienne liolomorphe de degre u.q, dont les derniers zeros sont les quantites a,, aA, chacune au degre q de multiplicite.
Inversement :
Soil 0 (s) une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre \t.q, admetlanl comme zero multiple d'ordre q chacune des quantites af, ah . ; les autres zeros de celte fonction sont les arguments de points de S, situes, avec les z(p — 1) points oil S est coupee par une courbe adjointe quelconque de degre n — 3, sur une courbe adjointe d'ordre n -+- q — 3 .
