VIII. — Des groupes de points sur une courbe algebrique
17. Considerons toutes les courbes adjointes d'un degre donne, qui passent, cn dehors des points singuliers, par un certain nombre de points fixes de S; dies determinent sur cette courbe, par lours intersections mobiles, des groupes de points dont l'etude constitue 1'objet principal de la Geometrie sur une courbe algebrique.
3l6 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
Soient $h; X,, X2, XA les arguments des points de deux
de ces groupes : on a evidemment, en se reportant au theoreme I du paragraplie VII et aux resultats du paragraphe III, les relations
f'ei(z)dz-{-f Bi(z)dz + ...+ f 0* (*)<&.== /V,4-W .
Inversement, les relations precedentes peuvent servir a definir les groupes de points independamment des courbes adjointes qui les traversent : si h quantites (3,, $h sont liees a // quantites X4, XA par des equations de cette forme, nous dirons que le groupe X,, XA est equivalent au groupe ($,, [3/,.
D'apres cette definition, deux groupes equivalents a un troisieme sont equivalents entre eux.
Nous dirons qu'un groupe (3',, $'h, est residuel du groupe (3,, (3A, par rapport a une courbe adjointe C(/, si les points d'arguments (3,, (3,,, [3'(,- (J^, constituent le systeme complet des intersections de la courbe S avec une courbe adjointe de degre q, les points singuliers exceptes (').
Le theoreme fondamental de la theorie des groupes est connu sous le nom de theoreme du reste; il peut s'enoncer ainsi :
Si deux groupes sont residuels par rapport a une courbe C9, un groupe quelconque equivalent au premier est egalement residuel d'un groupe quelconque equivalent au second.
Soient, en effet,
((3) et ((3') deux groupes residuels par rapport a une courbe C„+?;t ; (X) un groupe equivalent a ((3) ; (X') un groupe equivalent a ((3').
On a
Bi(z)dz = /&>,+ + . . . (i = i,2, ...,/>),
^ / 6,- (2 ) az — m (Hi + m'toi-t-.,. . (< = i,2, ...,/?).
(') Glebsch, Lecons sur la Geometrie ; trad. Benoist, t. II, p. 187.
APPLICATION DE LA TllfeOlilK. DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 21J
D'un autre cote, les groupes ((3) et ((3') ctant residuels, on a, en designant par y4, y2, . . ., yh, -{[, yk, les arguments des points comrauns a S et a une courbe adjointe C/r)9:! (§ ill et VII) :
•ft
V / ni{z)dz + ^ij ' di{z)dz— ritoi-h n'^ + . . . (i = i, 2, . . . , />),
d'ou
2^ ei(z)dz-h^J} ei{z)dz = aai+.a^+... ( t = 1, 2, . . . , p).
Or on sait ( § VII ) qu'il existe une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre pq-\-i, admettant comme zeros les quantites yy et y'j, et ayant comme zero multiple d'ordre q chacune des quantites a,, at : il resulte de l'equation precedente qu'on peut former une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre pt^ + i, ayant lesmemes zeros multiples d'ordre q que la precedente, et admettant comme derniers zeros les quantites Kj et \'} (n° 11). En d'autres termes (§ VII, th. I), les groupes (A) et (A') constituent l'ensemble complet des intersections de S et d'une courbe adjointe de degre n q — 3, les points singuliers exceptcs : ils sont done residuels par rapport a une courbe C„+7 3. c. q. f. d.
18. Dans un systeme de groupes equivalents nous distinguerons, avec MM. Brill et Nother, deux elements importants :
i° Le nombre h des points d'un groupe du systeme ; 20 La multiplicite r du systeme, e'est-a-dire le nombre des points d'un groupe qu'on peut se donner arbitrairement.
Nous designerons un tel groupe par g'h.
Les arguments des points d'un groupe etant lies par p relations, on ne peut, en general, se donner arbitrairement que h — p de ces points, et par suite, en general, on a r = h — p.
Mais il pourra se faire qu'on ait r = h — p -+- p, et nous dirons dans ce cas que nous sommes en presence d'un systeme special (Vindicc p.
19. D'une maniere generate, d'apres la remarque du paragraphe V,
(Euvniss de o. Humbert, t. i. 28
l'etude des groupes equivalents a un groupe donne (3,, .. ., (3A est idenlique a l'etude des zeros des fonctions fuchsiennes qui admcttent les infinis (3,, (3A; car on peut former une et une seule fonction fuchsienne ayant pour i nfinis les arguments des points d'un groupe, et pour zeros les arguments des points d'un groupe equivalent.
D'un autre cote, les fonctions fuchsiennes ayant memes infinis sont evidemment des fonctions lineaires et homogenes d'un certain nombre d'entre elles, etce nombre est precisement egal au degre de multiplicite du systeme auquel appartient le groupe considere, augmente de i.
On peut done dire, en designant les fonctions fuchsiennes dont il s'agitpar/, (z),f2(z), . . . , fr+t (z), que les arguments des points d'un groupe equivalent au groupe ([3) sont les zeros d'une fonction de la forme
et reciproquement. U'ailleurs, on doit retrouver parmi les groupes ainsi determines le groupe ((3) lui-meme, et par suite, I'une des fonctions /(z) devra avoir pour zeros (3n (3A : comme elle admet dejit ces quantites pour infinis, elle sera egale a une constante : nous pourrons done supposer, par exemple,/r+1 =i, et il rcste
/(*) ~ ai/i(s) + . . drM*.) + '*m-
Cette remarque tres simple va nous permettre de donner quelques proprietes des systemcs speciaux.
S'il s'agit d'un systeme special, on a en elfet
II existe alors /• fonctions fuchsiennes lineairenient distinctes, d'ordre h, ayant memes infinis,/, (z), . . ., fr(z) : par suite (§ III ), une quelconque d'entre elles pourra se mettre de p-\-r — /t, e'est-a-dire de p. manieres differentes, sous la forme du quotient de deux fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre un. On a ainsi
et, par consequent, les zeros de f, annulent 9», et les infinis de cette fonction annulent 6^(^=1, 2, ...,p). Les fonctions /, et/2 ayant memes infinis, la fonction thetafuchsienne /26;'+1 est holomorphe,
APPLICATION DE LA THKOR1E DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 2 t f)
et, comme elle est du premier degre, elle est egale a une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre un, 6* : on a ainsi
J2\* J fl| —
et, de merne,
9Wi
On peut comprendre toutes ces relations en une seule, en designant para,, //p des constantes arbitraires
On en conclut que les h zeros de «,/, -+- ...-(- a,.+1, c'est-a-dire les arguments des A points d'un des groupes consideres, annulent la fonction thetafuchsienne holomorphe de degre un u{ Sa{0)+...; ces A points sont done situes (§ I et VII) sur des courbes adjointes d'ordre n — 3, dont l'equation generate est de la forme
et qui determinent par suite, par leurs i(p — i) — h autres points d'intersection avec S, un systeme de multiplicite p — i. Ce systeme est egalement un systeme special, car on a
etson indice est / + r. Geometriquement, nous pouvons done enoncer la proposition suivante, connue sous le nom de theoreme de Niemann et Roch ( ' ) :
Par les points d? un groupe apparlenanl a un systeme special de multiplicite ret d 'indice p, on peut /aire passer un nombre p — I fois infini de courbes adjointes de degre n — 3. Ces courbes determinent , par leurs points mobiles d'intersection avec la courbe primitive, un nouveau systeme de multiplicite p — i, qui est un systeme special d" indice r + i .
(') Clebscii, Lecons sur la Geometrie; trad. Henoist, t. Ill, p. 5r.
OEUVltES DE GEOlUiES HUMBERT.
Ainsi les systemes speciaux sur une courbe d'ordre n peuvent toujours etre decoupes par une famille lineaire de courbes adjointcs de degre n—3; et ils se groupent deux a deux, suivant la loi remarquable indiquee par le theoreme precedent. On voit egalement qu'au point de vue algebrique l'etude des groupes speciaux se ram en e a celle des fonctions thetafuchsicnnes holomorphes du premier degre : nous reviendrons sur cette question dans le dernier paragraphe du present Memoire.
20. Remarque 1. — Un systeme de groupes renfermant moins de p-hi points est un systeme special; car, /• etant au moins egal a i, on a
k — p pli ou pip — h-hi,
et, par suite, si h est inferieur a p-\- i, p est positif et le systeme est un systeme special d'indice egal ou superieur a p — h -h i.
21. Remarque 11. - Si les h points d'un groupe sont sur une courbe adjointe de degre n — 3, il en est de meme des points de tout groupe equivalent.
La propriete est evidente si h est egal ou inferieur a/? — i , puisque par p — i points de S on peut toujours faire passer une courbe adjointe d'ordre n — 3.
Si h ==p — - i + s, la courbe adjointe d'ordre n — 3 qui, par hypotbese, contient les h points d'un groupe g, coupe S en
autres points. Or, d'apres le theoreme du reste, on obtient tous les groupes equivalents a g en menant par ces p — i — s points toutes les courbes adjointes possibles d'ordre n — 3, et en prenant les intersections mobiles de ces courbes. c. q. f. d.
22. Remarque III. — II est clair qu'au lieu de definir un systeme de groupes par des relations de la forme
2 / 9k(z)dz^± ha>k+ h'a'A+... ( k — i , a, . . . , p),
(3,, $h etant des quantites fixes, et A,, \h les arguments ties points d'un groupe, on peut partir d'equalions telles que
\j 9k{z)dz=vk-hhuk-h.,..,
les vk etant des constantes. Les systemes de valeurs des X qui satisfont a ces equations sont les arguments de points appartenant a des groupes equivalents entre eux, mais non equivalents au groupe (J,, p%.
23. Remarque IV. — A la theorie des systemes speciaux se rattachc la solution du probleme suivant :
Comment doit-on choisir h points sur la courbe S pour que les courbes adjointes de degre n + q — 3 menees par ces points forment une familie lincaire I fois infinie, le nombre I etant plus grand quon ne devrait s'y atte.ndre d^apres les donnees de la question?
Les points d'intersection de S avec toutes les courbes adjointes Cre^9 3 forment un systeme dont la multiplicity est egale au nombre, diminue de i, des fonctions thetafuchsicnnes lineairement independantes, de degre [x^-f-r, qui admettent comme zero multiple d'ordrc k chacune des quantites a,, aA, c'est-a-dire a nq -\- p — 2 (§ VII, nos 14 et 15). Si Ton assujettit les courbes adjointes C„+9 3 a passer par h points fixes de S, elles determinent par leurs intersections mobiles avec S un systeme-de groupes dont la multiplicite est, en general, nq-\-p — 2 — h. '
Le probleme revient a choisir les h points de telle sorte que la multiplicite du systeme devienne nq ■+- p — 2 + h + p.
Je dis qu'en ce cas le systeme considere est un systeme special. Pour le demo.ntrer, il suffit, en appelant h' le nombre des points d'un groupe du systeme, de calculer la quantite
nq -+■ p — Ii — 2 + p — h' + p.
Or on a
La quantite precedente se reduit par suite a p.
Le systeme est done un systeme special d'indice p.
La reciproque do cette proposition est vraie et se demon trerait do la memo maniere, en partant du theoreme du reste. Done :
Par h points donnes sur la conrbe S, on peul /aire generalement passer une famille lineaire de courbes adjoinles d'ordre n -f- q — 3 / fois infinie; si les h points sont tels que lew systeme residuel par rapport a des courbes Cn+q li soit un systeme special d^indice p, la famille lineaire des courbes adjointes d'ordre n -h q — 3 qui passent par ces points sera t •+■ p jois infinie, et reciproquement.
Au point de vne algebrique, on peut deduire de tout ce qui precede une proposition dont nous avons fait usage au n° 11, et qui peut s'enoncer ainsi :
Soient s jonctions thetafuchsiennes holomorphes du premier degrey lineairement independantes, ayant q zeros communs, et une fonction theta fuchsienne holomorphe de degre m admetlant ces q zeros el s'annulant
en outre, dans R0, pour les im (p— i) — q valeurs \t, X2, Onpourra
former q—p-hs-hi fonclions thetafuchsiennes holomorphes de degre in s'annulant pour z = \K, X2
