IX. — Proprietes d'un systeme particulier
24. Une courbe adjointe d'ordre n — 3 coupe S en 2(^ — 1) points formant un groupe qui appartient a un systeme special.
En effet,, on peut choisir arbitrairement p — 1 de ces points, puisque les courbes adjointes d'ordre n — 3 forment une famille p — i fois infinie ; on a done
h—2(p — i), r = p — i, et, par suite, l'indice p du systeme est donne par la relation
p = p r — h — p1 -F/> — 1 — 2 (p — 1) '=rx.
Nous designerons, dans ce qui suit, par y tout groupe de i(p — 1) points communs a S et a une courbe adjointe d'ordre n — 3.
Nous allons donner quelques proprietes du systeme des groupes residuels des groupes y par rapport aux courbes adjointes de degre n — 2.
Soit C„2 une courbe adjointe de dogre n — -2 passant par les points
APPLICATION DE LA TH fiORIE DES FOWCTIOJNS FUCIISIENNES.
d'un groupe y : elle coupe S en n nouveaux points, constituant un groupe que nous designerons par V
II resulte de la theorie du paragraphe precedent que :
Un groupe y el un groupe Y quelconques sont sur une courbe adjointe d'ordre n — 2.
Toule. courbe adjointe d'ordre n — 2 passant par les points d'un groupe y(ow T) coupe S en de nouveaux points, formant un groupe T(ouy).
Par n points pris sur S on peut /aire passer en general une famillc de courbes adjoinles Cre 2, p — 2 fois infmie ; si les n points forment un groupe T, la famille des courbes Cre 2 qui passent par ces points sera p — 1 fois infinie, el reciproquement.
Les arguments des points d'un groupe V sont les zeros d'une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre [k, dont les autres zeros sont les k quantites fixes at, . . . , aA(§YII, II).
Par les points d'un groupe y et d'un groupe T quelconques, faisons passer une courbe adjointe d'ordre n — 1, qui coupe S en n nouveaux points : je dis que ces points forment un groupe T.
En effet, les arguments des points autres que les points doubles, oil cette courbe adjointe d'ordre n — 1 coupe S, sont les zeros d'une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre 2(j.-+ i, dont les derniers zeros sont les quantites a, , . . . , aA, chacune au second degre de multiplicite.
Appelons
©2EX.-M (z) cette fonction ;
0^ (s) la fonction thetafuchsienne de degre [k qui s'annule pour les
arguments des n points du groupe T considere ; O(^) la fonction thetafuchsienne du premier degre qui s'annule pour
les arguments des 2 (p — 1 ) points du groupe y.
Les arguments des n points ou la courbe adjointe d'ordre n — 1, qui traverse les groupes T et y, coupe de nouveau la courbe S, annulent
(') La courbe C„2 peut se decomposer en une courbe adjointe C„3 et en une droite : les groupes T sont done equivalents au groupe forme par n points quelconques de S, situes en ligne droite.
evidemment la fonction > qui est une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre ta, admettant comme zeros simples les quantites a,, . . . , aA.. c. Q. f. d.
La reciproque de ce theoreme est vraie et se clemontre de la meme maniere. Done :
Une courbe adjointe d^ordre n — I menee par les points d'un groupe y et d'un groupe T quelconques coupe S en n nouveaux points formant un groupe T.
Deux groupes Y el un groupe y quelconques sont sur une courbe adjointe a S d^ordre n — i .
Plus generalement, on voit de meme que :
Une courbe adjointe d'ordre n -+- q — 2 menee par les points d^un groupe y et de q groupes T quelconques coupe S en n nouveaux points formant un groupe T.
(q -h 1 ) groupes T et un groupe v quelconques sont sur une courbe adjointe a S d'ordre n 4- q — 2.
