X. — De deux especes de courbes de genre p
25. Soient n Ie degre d'une courbe de genre /» ; 2 ([/. — 1) (p — i)ct 2 u. (p — 1) les deux multiples consecutifs de 2 (p — 1) qui comprcnnent n, de telle sorte qu'on ait
? *) {P — il<»S a|i(/) — 1)'.
Nous avons vu (§ V et VI) que si Ton a
les coordonnees des points de la courbe consideree S peuvent, en coordonnees homogenes, etre representees par trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre [jl ; si, au contraire, on a
ces fonctions thetafuchsiennes seront, en general, de degre [i + 1, sauf pour certaines courbes speciales, dont les coordonnees des points seront des fonctions thetafuchsiennes de degre p..
Dans le cas oil 2 u.(p — i) — p — n <[ 6, il y a done deux especes de courbes de degre n et de genre p : nous allons indiquer quelques proprietes geometriques qui derivent de la definition precedente, et nous montrerons ensuite qu'il existe egalement deux especes de courbes, dans le cas ou Ton a 2 p. (p — 1) — p — n>.o.
Soit done, en premier lieu,
2 f* iP — 1 ) — P — n = — h ; on a necessairement, d'apres les hypotheses faites,
hip et A3I,
Pour les courbes generates de degre n et de genre/?, que nous appellerons courbes de seconde espece, les coordonnees des points seront des fonctions thetafuchsiennes de degre f/.-h 1, ayant i(p — i)-hp — h zeros communs a,, a2, . . . ; pour les courbes speciales, que nous appellerons courbes de premiere espece, les coordonnees des points seront des fonctions thetafuchsiennes de degre p., ayant p — h zeros communs fi,, |ja, • • » fip—h-
Considerons d'abord ces dernieres courbes.
Soient 0,, 02, 6^4.,, (u. h-i) fonctions thetafuchsiennes
quelconques du premier degre ; leur produit
est evidemment une fonction thetafuchsienne du degre f/.-1-i. On peut choisir la fonction 0^, de fagon qu'elle s'annule pour les/) — h zeros (3,, car on peut toujours former une fonction thetafuch-
sienne du premier degre s'annulant pour moins de p valeurs donnees. Si maintenant on se reporte au paragraphe VII, on voit que les zeros de 0(-s), a l'exception de (3,, [32, . . ., fip/t sont les arguments de points situes sur une courbe adjointe a S de degre n — 2. On peut done enoncer cette proposition.
Par les points simples communs a S et a a courbes adjointes d'ordre n — 3, on peut faire passer une courbe adjointe d'ordre n — 2, dont les aufres points d'intersection avec S sont sur une courbe adjointe d'ordre n — 3 passant par p — h points fixes.
Si nous considerons maintenant une courbe de seconde espece, nous
pourrons poser
0{:.) = Ql9,...ei>.9>,
0' etant une f'onction thetafuchsienne du second degre; on pourra, en general, choisir cette fonction de facon qu'elle s'annule pourles
2 [p — 1 ) + P — ll
valeurs a,, a2, En effet, les fonctions thetafuchsiennes holomor-
phes du second degre sont fonctions lineaires et homogenes de 3 (p — i ) d'entre elles (§ IV), et la condition precedence pourra etre remplie si Ton a
ou
Ainsi, si h est superieur ou egal a on pourra, par les points coramuns a S et a fx courbes adjointes d'ordrc n — 3, faire passer une courbe adjointe d'ordre n — i : les autres points d'intersection de cette courbe avec S ne sont pas sur une courbe adjointe d'ordre n — 3.
Si h est egal a l'unite, on ne pourra faire passer une courbe adjointe d'ordre n — 2 que par les points communs a S et a f* — i courbes adjointes d'ordre n — 3.
Arrivons, en second lieu, au cas ou Ton a
2 Pip — O — P — » = h>
avec les conditions
Les coordonnees des points d'une courbe S de degree et de genre p s'expriment par trots fonctions thetafuchsiennes de degre ayant p-h h zeros communs a, , a2, . . . .
p 4- h est compris entre p et i p — 3 : nous dirons que la courbe S est de premiere espece si a,, a2, ... sont des zeros d'une meme fonction thetafuchsienne holomorphe du premier degre ; clle sera de seconde espece dans le cas contraire (').
(')Parmi les p + h zeros, a{, a,, ..., /t sont arbitraires (§ V), et 1'on peut remplac^r le systeme a, , a2, . . . par un autre systeme <x\ , a^, . . . . Mais il est clair que les quantites a,, as, . . . ; a\, <x'2, ... constituent des groupes equivalents, et, par suite, si <xt, a2, ... sont les zeros d une fonction thetafuchsienne du premier ordre, il en sera de meme de (Refn. II, § VIII).
application de la theorie des ponctions Ficiisiennes. 227
On voit alors, comme plus haut, quo par les points simples communs a une courbe de premiere espece et a \i. courbes adjointes d'ordre n — 3 on peut faire passer une courbe adjointe de degre n — 2, dont les autres points d'intersection avcc la courbe primitive sont fixes; si la courbe est de seconde espece, on ne pourra faire passer une courbe adjointe d'ordre n — 2 que par les points communs a la courbe considered et a ijl — 1 courbes adjointes d'ordre n — 3.
