En resume
Soit
Premier cas : 2\).(p — 1) — p — n^o. — Les courbes de degre n et de genre p se dwisent en deux classes, distinguees par les propriete's suivantes :
Appelons groupe y tout groupe de 2 (p — 1) points simples, communs a la course de degre n et de genre p, et a une courbe adjointe
Sur une courbe de premiere espece, jj. groupes y quelconques sont traverses par une courbe adjointe d'ordre n — 2, qui coupe en outre la courbe consideree en n — 2 ([/. — 1) (p — 1) points fixes.
Sur une courbe de deuxieme espece, u. — 1 groupes y quelconques sont traverse's par une courbe adjointe d'ordre n — 2 ; \). groupes y ne peuvent jamais etre sur une telle courbe.
Second cas : 20. (p — 1) — p — n < 0. — Les courbes de degre n et de genre p se divisent encore en deux classes.
Sur une courbe de premiere espece, u. groupes y quelconques sont traverse's par une courbe adjointe d'ordre n — 2, dont les autres points d'intersection avec la courbe consideree, en nombre egal a n — 2 (u. — 1) (p — 1), sont sur une courbe adjointe d'ordre n — 3, passant par 2 (X (jo — 1) — n points fixes de la courbe de genre p.
En particulier, si n = 2 [x (p — 1), pi •+- 1 groupes y quelconques sur la courbe de premiere espece sont traverses par une courbe adjointe C^j .
Sur une courbe de seconde espece, jj. groupes y quelconques sont
traverses par une courbe adjointe d'ordre n — 2 ; mais les aulres points communs a cette courbe et a la courbe considered ne peuvent Stre sur une meme courbe adjointe d'ordre n — 3.
II y a exception pour le cas ou n = (2 jj. — 1) (p — 1) : on ne peut alors faire passer une courbe adjointe C„2 que par (/. — 1 groupes y de la courbe de seconde espece.
27. Dans le cas des courbes de genre 2, les resultats precedents prennent une forme plus simple. Les groupes y comprennent alors deux points que nous appellerons points conjugues.
It y a deux especes de courbes de degre n et de genre 2.
Soit d'abord
La courbe de premiere espece est celfe dont les coordonnees des points sont des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre ]x. Sur une telle courbe, (jl -+- 1 couples de points conjugues sont toujours traverses par une courbe adjointe C„2, qui ne coupe la courbe primitive qu'en ces points el aux points singuliers.
La courbe de deuxieme espece est celle dont les coordonnees des points sont des fonctions thetafuchsiennes de degre [/. + 1 ayant deux zeros communs. Sur une telle courbe, couples de points conjugues sont lou jours traverses par une courbe adjointe C„2 passant par deux points fixes, situes sur la courbe consideree.
Soit
n = 2 fji — 1.
La courbe de premiere espece est celle dont les coordonnees des points sont des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre fx ayant un zero commun. Sur une telle courbe, couples de points conjugues sont toujours traverses par une courbe adjointe C^.o, coupant en outre la courbe primitive en un point qui est fixe.
La courbe de deuxieme espece est celle dont les coordonnees des points sont des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre p.-M, ayant trois zeros communs. Sur une telle courbe, fx — 1 couples de points conjugues sont toujours traverses par une courbe adjointe C„2 ct ix couples ne le sont jamais.
XI. — Intersection d'une courbe de genre p et d'une courbe algebrique.
28. Les arguments de mn points d'intersection de la courbe S, de degre n et de genre p, et d'une courbe quelconque, f(x{,x2, x3) = o, de degre q, sont donnes par I'equation
La fonction f{z) est une fonction thetafuchsienne de degre txq, qui admet comme zero multiple d'ordre q chacune des quantites a,, a,, . . . , aA (') ; les autres zeros de cette fonction, en nombre egal a i\xq{p — i ) — kq, c'est-a-dire a nq, sont les arguments des nq points communs aux deux courbes.
Inversement, soit /(s) une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre \j.q, admettant comme zeros multiples d'ordre q les quantites a,, . . ., a/c : les nq autres zeros de cette fonction ne sont pas necessairement les arguments de points de la courbe S, situes sur une courbe de degre q ; certaines conditions doivent etre satisfaites pour qu'il en soit ainsi.
29. Le nombre de ces conditions se determine comme il suit : Remarquons d'abord que les fonctions /(z)que nous considerons
sont des fonctions lineaires et homogenes de ( 2 \>.q — 1 ) (p — 1 ) — kq d'entre elles (n° 14) /,,/2, . . . ; et distinguons ensuite deux cas
q<i n et q = n-
Si q est inferieur an, les fonctions de la forme (z)xl* (z)ccp(s), oil qt, q2, q3 sont des entiers non negatifs de somme q, ne sont liees par aucune relation lineaire et homogene (sinon la courbe S serait decomposable); ces fonctions sont d'ailleurs thetafuchsiennes holomorphes de degre \xq, et admettent comme zeros multiples d'ordre q les quantites a, cck : leur nombre etant de \ (q + 1 ){q -+- 2), on
(') On suppose toujours que les coordonnees d'un point de S sont trois fonctions thetafuchsiennes de ft, ayant k zeros communs, cct) ...,a*; on a alors
pourra exprimer ^ (g -+- i ) (y + 2) des fonctions /, ,/2, . . . , cn fonction lineaire des (2 u.g — i)(p — 1) — kg — \ {g -+- 1) (7 -h 2) autres fonctions /), et des fonctions x\* afy x&> ; si nous ecrivons maintenant que dans 1' expression de/(s), les fonctions/] disparaissent, nous exprimerons que les ng zeros de /('■) autres que a,, . . . , a*, sont les arguments de points de S situes sur une courbe de degre g. Nous avons ainsi un nombre de conditions egal a
(2^9 — 1) (p — 1) — kq — t(y+ 0(7 + 2)
ou, puisque
k — 2jx(p — 1) — n,
egal a
Si g est egal ou superieur a n, les fonctions
*J' 4?J< «f« ( yi + 7* + 7s = 7 ) sont liees par des relations de la forme generale
etant un polynome quelconque de degre g — n. II y a done entre les fonctions x'[< x\- xq3» un nombre de relations lineaires et homogenes egal au nombre des coefficients de vp, e'esta-dire a ^(y — n -+- 1) (g — zi + 2), et le nombre de ces fonctions Iineairement distinctes sera par suite
i ( q + 1 ) (y •+- 2 ) — i ( y — /i 4- 1 ) (q — /i + 2 ) = rty — |n(n — 3 ).
On en conclut, par le raisonnement fait plus haut, que la fonction f(z) devra verifier ^n^n — 3) — p -+- 1 conditions, pour que ses ny zeros, autres que a,, . . . , a/o soient les arguments de points de S situes sur une courbe de degre g.
Dans le cas de g — n — 1 et g = n — 2, le nombre de ces relations est le meme que pour g = n, e'est-a-dire egal au nombre des points doubles de la courbe S.
30. On peut mettre les relations dont il s'agit sous une forme tres importante au point de vue des applications, comme I'a fait Clebsch dans le cas des courbes de genre o et de genre i.
APPLICATION 1)E LA THEORIE DES FOJMCTIONS FUCIISIENJVES. 23 1
Si la fonction/(s~) est une somme de termes de la forme
il est clair qu'on aura, en designant par(e, e') les arguments qui correspondent a un point double E, de S ( 1 ),
ft/iV fie) = /(g,)
Les relations (14) sont precisement en nombre egal a
elles sont necessairement verifiees quand les nq zeros de f(z), autres que a,, . . . , a/f, sont les arguments de points de S situes sur une courbe algebrique d'ordre q; je dis maintenant qu'elles sont suffisantes.
La demonstration de ce theoreme repose sur une interpretation geometrique simple qu'on peut donner de chacune de ces equations (2).
31. D'apres la proposition II du paragraphe VII, les nq zeros de f (z) dont il s'agit sont situes, avec les i(p — i) points simples ou S est coupee par une courbe adjointe quelconque d'ordre n — 3, sur une courbe adjointe d'ordre n -\- q — 3. Nous designerons cette derniere courbe par F, et la courbe d'ordre n — 3 consideree par P.
Si n -+- q — 3 est egal ou superieur a n, c'est-a-dire si q>3, il y aura, pour une meme fonction f(z), une infinite de courbes F, ayant pour equation generale
(F) F = F0 + StV3,
F0 = o etant I'equation d'une quelconque d'entre elles, et R?3 designant un polynome arbitraire de degre q — 3. II resulte de cette equation que les courbes F, qui correspondent a une meme fonction f(z), ont meme tangente en un quelconque des points doubles de S.
(') Dans ce qui suit, nous supposerons, pour plus de simplicity, que la courbe S n'a comme points singuliers que des points doubles ou de rebroussement.
(2) Nous avons donne cette interpretation dans le cas des courbes de genre un {Sur les courbes de genre un, p, 55 et suiv.).
Or on a evidemment
a. etant une constante.
Supposons verifiee une des equations ( i4)
Prenons pour axes x.2 = o etx3 = o les deux tangentes a S au point double (e, e'); x, = o etant tangente a la branche e, x3 = o a la branche e' . On aura, en ordonnant F et P par rapport aux puissances decroissantes de xt,
F(a-,, x2, x3) = l(xi + ax3) x'\+i-'' + ( X' x% + . . . ) x'\* + . . . , P {xux2, x3) = [).{x2 + bx3)x<{-'* -+-
Or, d'apres (i5), /(e) est la limite vers laquelle tend la fonction
Mais x2 (e -+- s) est inflniment petit par rapport a x3 (e -+- e), puisque x.2 — o est la tangente de la branche e ; il reste ainsi
i 1 x2 (e -+- e) -t- ax3(e -+- s)
a // x2(e -\- s) -h bx3 ( e + e )
de me me
etla relation (i4) donnepar suite a = En d'autres termes :
Si V equation (i4)> relative a un point double, est verifiee, les courbes F et P se louchent en ce point.
32. Cela pose, si les equations (i4) sont verifiees pour tous les points doubles de S, les courbes F et P sont tangentes en
points coincidant avec les points doubles, et se coupent encore aux 2 (p — i) points simples communs a S et a P. On peut done dire que la courbe F passe paries points d'intersection des courbes Set P, et Ton peut ecrire identiquement (' )
F = AP + BS,
A et B etant deux polynomes entiers, de degre q et q — 3.
33. On en conclut que les points d'intersection de F et de S, non situes sur la courbe P, e'est-a-dire les nq points dont les arguments verifient l'equation f(z) — o, sont sur la courbe de degre q, A = o.
Les equations ( 1 4 ) sont done les conditions necessaires et suffisantes pour que les nq zeros de autres que les k zeros d'ordre q
a, , . . . , aA, soient les arguments de nq points de S, situes sur une courbe de degre q.
Remarque 1. — Si la fonction / (z) s'annule pour z = e et z = e , l'equation correspondante est identiquement verifiee, et 1°, nombre des conditions diminue d'une unite.
Si q est inferieur ou egal a n — 3, le nombre des relations auxquelles doit satisfaire la fonction consideree, /(:;), est egal, comme on l'a vu, a
n(l — !(<7+')(?+2) — P+ii
en ce cas, il est clair que les equations (i4) °e seront pas distinctes, et qu'elles se reduiront
re.Hj(f+i)(? + 2)-/>4i
d'entre elles.
Remarque II. — Si le point double (e,e') est un point de rebroussement, il faut, dans l'equation correspondante
f{e):x'i{e)=f{e');x'>{e'), faire e' = e + e et faire tendre e vers zero ; on trouve ainsi
(') Clebsch, Leconssur la Geornetrie, traduct. Benoist, t. II, p. 45.
QSUVBES DE O. HUMBERT, T. I. 30
