XII. — Applications geometriques. Courbes de contact
Soient, sur une courbe algebrique S de degre n et de genre p, h groupes, g{, g.2, g/t, comprenant respectivement /,, //( points. Nous supposerons qu'il existe une courbe algebrique
<p(^,,Xj, .r3) = o,
de degre q, ayant avec S aux lj points du groupe gj un contact d'ordre rj— i ( j ==■ i, 2, . . . , k) et coupant en outre S en k{ points doubles et en k2 points simples. On a ainsi
nq = 2 A , + A2 +/•,/,+ ...+ rh lh.
On demande de trouver la forme de ^equation generate des courbes de degre q, qui coupent S aux k{ points doubles et aux lc2 points simples precedents, et qui ont avec S, en lj points formant un groupe equivalent a gj, un contact d'ordre r: — I (/ = i, 2,..., A).
En d'autrcs termes, il s'agit de trouver sous quelle forme entrent les constantes arbitraires dans 1'equation f = o de ces courbes, ou, ce qui revient au meme, dans la fonction /(-) — \oc,(z), . . .].
La fonction F (z) = est evidemment une fonction fuchsicnne
d'ordre nq — ikK — k2.
Soient a,-, (3y, A,- les arguments des points du groupe gj \ ctj, 3'-, . . . ,Xj les arguments des points d'un groupe quelconque, equivalent au precedent, etpar lequel passe la courbe f = o.
II existe une et une seule fonction fucbsienne, Fy(js); ayant pour infinis a,-, ... , \j, et pour zeros a}, $'f, ...,X7- ( n° 12, Remarque); inversement, toute fonction fuchsienne d'ordre lj, ayant pour infinis ocy, ...,Xy, aura pour zeros les arguments des points d'un groupe equivalent ag-y. Or les fonctions fuchsiennes ayant memes infinis, en nombre lj, sont des fonctions lineaires et homogenes d'un certain nombre d'entre elles : ce nombre est egal a /, ■ — p ~h i, si gj° n'est pas un groupe special, et a lj — p -+- i -+- pj si gj est un groupe special d'indice py (n° 19).
On a done
¥j(z) = % y'/\z) * +- % Fi3,(5) + • • • +■
en posant pour abreger mj — lj — p -+- i + p7.
Dans cette fofmule Y)t, y]2, . . . sont des constantes qui sont arbitrages, si Ton n'impose pas a a), . . . , A; d'autre condition que d'etre les arguments des points d'un groupe equivalent a gj.
37. De la resulte la forme -de la fonctjon F(^); on a en effet evidemment
F'(4i) = F^(#)F5.(i)..,F;*(ar)
et, par suite,
(/) =u(z)[xlF<» + a2F\*> + +
[ x [ (3, Fy> + . . . + (3,„, f^ p . . . [ 3, FA" 1 + . . . + 3,„, Fjp*> ]'%.
Nous ecrirons symboliquement (/bis) /( a ) = ( «, . . . ( (3, . . . (3„„ jr* . . . ( 3... . . 3„„. )'X
D'apres la formule (/), les zeros de f(z) sont. : i° les arguments correspondant aux kK points doubles et aux k2 points simples considered sur S ; 2" les arguments de h groupes, equivalents a g,, gh, aux degres respectifs /*,,... de multiplicity ; 3° les k zeros communs aux trois fonctions thetafuchsiennes xK (z), x.2(z), x.t(z), an degre q de multiplicity. II reste maintenant a exprimer que les nq zeros des deux premieres categories sont les arguments de nq points de S situes sur une courbe de degre q, passant par kt points doubles de la courbe S ; on ecrira pour cela les relations ( \\)
,(i4) f{e):xl{e)=f(e'):x'>{e').
Ces equations seront en nombre egal a
si q > n — 2, et a
n(!—Hl + 0(7 + 2)— P + 1 — A'i>
s\q<n - 3(§XI).
Klles ctabliront des relations entre les constanles a, (3, qui figurent dans les formules (/) et (f bis).
De la resultera sans difficulte la forme de l'equation generate cherchee.
38. Parmi les applications qu'on peut faire de cette theorie, la plus importante est relative a l'etude des courbes de contact. Le probleme a traiter peut s'enoncer comme il suit :
Probleme des courbes de contact. — Soit
nq = 2 A'! -+- k1 -+- rl, q = n — 2.
Trouver V equation generate des courbes de degre q qui passent par k{ points doubles el k2 points simples donnes sur une courbe S, de degre n et de genre p, el qui ont avec cette courbe en I points un contact d'ordre r — i.
Dans ce qui suit, nous designerons par d, pour abreger, le nombre des points doubles de la courbe S
d = in(n — 3) — q + i.
Soit <p, ( ) = o une des courbes repondant a la question, et
ayant avec S un contact d'ordre r — i aux / points d'arguments [3,, [3,, . . . , (3,. Soient a,, . . . , a, les arguments des points mobiles ou l'une quelconque des courbes cherchees, f( ) = o, touche S. On
a, par l'application du tbeoreme d'Abel,
/• ■f*%{*)dz + ...+ r l lQ((z) dz=z AU/ + A'uj + 1 . + h^»-" ^''-^
d'ou
(16) f*lQl{z)dz + ...-h p'e/(*)rf*'=i-i(A«ii.+ A'«aJ + ...).
Dans le second membre, on peut donner aux ip entiers h, hi, ... les valeurs o, i, . . . , r — j : il en resulte que les courbes cherchees se divisent en r2p systemes, et que les groupes formes par les / points de contact correspondant aux courbes d'un meme systeme sont equivalents.
Supposons que les courbes cp = o et /=o appartiennent au meme systeme ; on aura, d'apres ce qui precede,
f(z) = cp (5) [X,F<'> + ).2Ft!) + . . . + \m F('«) ]'•, }M, . . . , ~km etant des constantes, et etant pose
en designant par p l'indice du systeme des groupes equivalents au groupe des points de contact de S et de ©. (Dans le cas general, ce systeme ne sera pas special, et Ton aura p == o.)
Les fonctions F(,), . . . , F(m) sont des fonctions fuchsiennes d'ordre /, ayant pour infinis les quantites (3,, (32, . . . , pY
On a de plus entre les constantes XM . . . , \m les equations ( i4), qui prennent ici une forme remarquable.
On a, en effet (n° 30),
et, par suite,
[ X, F<1>(<?) + . . . 4- X,„ Ff') (e) = [X, F<») (V) + . . . + X,„ F<'»> (e' ) ]>'.
On a d — k, equations de cette forme. On peut les ecrire, en extrayant les racines ri4m<" des deux membres,
s etant un entier qui peut prendre les valeurs o, 1 ,...,/* — 1 ( 1 ).
En combinant ces valeurs, on aura, puisqu'il y a d — kK equations de la forme precedente, rd~/t> groupes d'equations lineaires et homogenes en \{, X,„, et les solutions du probleme s'obtiendront en egalant a zero les d — kK premiers membres des d — ks equations de Tun quelconque de ces groupes.
Considerons les equations d'un des groupes : on en tirera la valeur
(') Ces equations peuvent aussi s'ecrire
)■ .x~'. (e) isLH -1 ,
Cette forme nous sera utile plus loin.
dc d — kt des constantes X,, .. . , X,„ en fonction lineaire et homogene des m —d + k, autres et Ton aura ainsi
/(-) = ?. (i) + • • • + K,-a+k, 9,„-rf+A-, (;)]'',
A,, . . . , X„,,/hAi etant mainlenant des constantes arbitraires.
En consequence, l'equation generale des courbes appartenant au groupe considere sera de la forme
o =/Oi> x3) =^J' A,.„ o -t- /-X;-' X2 A(.ti ,,...0 -+-. . . A0i.
Les A sont des polynomes de degre q en ccn cc2, x3, qui, egales a zero, representent des courbes de (iegre q passant par les kt points doubles et les k2 points simples donnes sur la courbe S ; on a
