On peut done enoncer les resultats suivants : Soit
n^r = ik\ -r />2 + q/- n — 2.
Les courbes de degre q, qui passent par k, points doubles et k2 points simples donnes sur une courbe S, de degre n et de genre p, et qui ont avec cette courbe en I points un contact d'ordre r — 1 , se divisent en r2p syslemes : pour les courbes d'un meme systeme, les I points de contact avec S forment des groupes equivalents.
Chaque systeme se divise en groupes, et V equation generale
des courbes d un meme groupe est de la forme
(18) ll A,. , 0< . . . o + /•>.', - 1 X2 A,... 1 , , , . . .o -t- . . . + K,-d+k, A0, ... ,— o,
oil X,, X2, ... designent des constantes arbitraires, et oil /'o/i a pose
p etant I'indice du systeme des groupes equivalents formes par les I points de contact des courbes considerees.
40. Remarque I. — II resulte de l'equation (18) que, pour que le
APPLICATION DE LA T1IICORIE DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 2.3g
probleme soit possible, il faut qu'on ait
c'est-a-dire
I + p + A-, >/; +1 rf.
En general, si les points donnes sur S sont choisis arbitrairement, les groupes equivalents formes par les points de contact des courbes d'un meme systeme ne sont pas speciaux et Ton a
La condition ci-dessus devient alors
On peut deduire de ce qui precede la proposition suivante :
Soit g un groupe quelconque de I points, situes sur une courbe S de genre p, a d points doubles : une courbe quelconque de degre q ayant avec S en ces I points un contact d^ordre r — i coupe, en outre, la courbe en kt points doubles et en k., points simples. Inversement, par ces kK 4- k2 points, on peut faire passer rd~k' groupes de courbes de degre q, ayant respeclivement avec S des contacts d'ordre r — i en I points formant un groupe equivalent a g. V equation generale des courbes d'un groupe est de la forme ( 1 8 ) et ren ferme
parametres arbitraires.
Si le groupe g est un groupe special d'indice p, le nombre de ces parametres est augmente de p.
Celte proposition est une generalisation de celle du n° 23 sur les proprietes des groupes speciaux.
41. Remarque II. -— Si q est egal ou superieur a n, on ajoutera au second membre de l'equation (18) le produit SRv 7i, oil Rf/„ designe un polynome quelconque de degre q — n en xn x.2, x3.
42. Remarque III. — Si q est inferieur a n — i, les equations (17) seront au nombre de nq — - (q -+- 1) (q -+- 2) — /c, — p -h 1 (n° 33); il
24o OEOVRES DE GEORGES HUMBERT.
n'v aura ainsi, dans chaque systeme, que
groupes de courbes de contact.
En particulier, pour q = n — 3, ce npmbre devient t^-*'-' ( 1 ).
43. Remarque IV. — Si la courbe S a des points de rebroussement, il convient de modifier legerement les enonces precedents.
Supposons que, parmi les d — k{ points doubles par lcsquels ne passent pas les courbes de contact considerees, ily ait R points de rebroussement, d'arguments et, e2, . . . , cK.
L'equation (14) relative a l'un de ces points devient (33)
f'(ex)xx (ei) = qf(et)a:'i (e,), c'est-a-dire, puisque Yon a
o — di'"-' (<?,)
(') On doit remarquer que, si q est inferieur a n — 3, le probleme des courbes de contact est generalement impossible, lin effet, pour qu'il soit possible, il faut, comme on le voit aisement en appliquant la melhode du n° 40, qu'on ait
(0 l — p + p — nq + ~'q + i)(q + 2) + /» , + />> 1 .
Or on a
nq = 2 A', -+- k.2 -+- rl;
la plus grande valeur de /, toutes choses egales d'ailleurs, correspond a la plus petite valeur de r, soit /• = 2 ; si Ton fait cette hypotbese dans la relation precedente, l'inegalite (/) enlraine la suivante :
et, a fortiori, en supprimant ~,
zp-hq(q — n + 3 ) = o.
En general, p = o, et Ton doit avoir par suite q 2 n — 3.
APPLICATION DE I.A TIIKOME T>ES FONCTIONS FUCHSIENNES.
'\>{et) ne peut etre nul que si la courbe / '— o passe par le point de rebroussement (e,), ce qu'on ne suppose pas; en egalanl a zero la quantite entre crochets, on trouve une relation lineaire et horaogene en X,, ~k,, A,,,.
On conclut de la que le nombre des groupes que comprend un des f'2f> systemes de courbes de contact est egal a
/'' -R — *i si <J~fl — 2
et a
n'l — : it + D (<7 + 21 - -*i — /' — R + 1 /• 2 . si q < n — 2.
Proprietes des systemes de points de contact.
44. On peut donner, relativement a la distribution des points oil les courbes de contact touchent la courbe consideree, quelques propositions simples, qui sont l'extension de quelques resultats enonces par Clebsch dans le cas oil les courbes de contact sont des courbes adjointes.
Ces recherches mettront en evidence I'existence d'une classe de fonctions uniformes interessantes, et dont l'etude est Iiee a eel le des fonctions fuchsiennes.
Soient deux courbes de contact appartenant a un meme systeme, /' == o et f, — o. On a
/(z) =<p(5)[x, mi +*2f<2) +....].■ = <P(a)^(S)>
/, (*) = cp (z) [ft F<» + ft F<" +...]'• = ? (z) ^(z) ;
o = o est l'equation d'une quelconque des courbes du systeme considered | et sont des fonctions fuchsiennes ayant memes infinis.
La fonction > c'est-a-dire *jp est done une fonction fuchsienne,
dont les zeros et les infinis sont respectivement les arguments des
/ points de contact de S avec les courbes /et/,.
Cherchons ce que devient la fonction (^j^j dans le cas ou /, = o est une courbe de contact appartenant a un autre systeme que la
CEUVRES DE G. HUMBERT, T. I.
•lf\"i. ftf.l VRES DE GF.ORfiES HUMBERT.
rourbe f — o. Soit pose, pour abreger.
La fonction efJ' (s) est uniforme dans l'interieur du cercle fondamental ; je dis qu'il en est de meme de la fonction (s).
En efFet, les zeros de /(.s)[ou /t(s)]sont : t° les k zeros communs a .)',(;), x2(z), x3(z), chacun au degre q de multiplicite; i° les ikK -+- k., arguments qui correspondent aux points fixes de S par lesquels passent les courbes de contact de la famille consideree; 3° les arguments des /points de contact de f=o | ou/, = o] etdeS, chacun au degre r de multiplicite.
II resultc de la (jue les zeros et les infinis de la fonction J-^^ sor>t tous d'un degre de multiplicite egal a /*, et par consequent la fonction reste monodrome dans le domaiue de l'un quelconque des points correspondants ; elle est done uniforme dans l'interieur du cercle fondamental.
D'un autre cote, on a, en designant par ]'J ~ "f" lJ'J ) une quelconque des xp substitutions fondamentales du groupe G, generateur des fonctions fuchsiennes considerees
et, par suite,
hj etant un entier,- qui esl evidemment unique et determine quand la substitution ( z, - " ~j~ ^v ^ est donnee.
Si Ton remplacc la courbe /, = o par une autre courbe de contact, /, == o appartenant au meme systeme, on a une nouvelle fonction
et je dis qu'elle satisfait aux relations
APPLICATION nr. LA THKOR1E MS FONCTIONS FUCHSIENNES, 24.J
oil hj est fe meme que pour la fonction (s); le quotient > c'est-
a-dire J > est en efiet une fonction fuchsienne cle groupe G,
d'apres ce qui a ete dit plus haut, puisque les courbes f[ = o et /, = <> appartiennent au meme systeme.
Considerons maintenant une courbe de contact f2 — o appartenant
a un nouveau systeme ; et soit §2 {z ) = yyry 'a fonction correspondante. On a
