TT
h£±m = jl(a)g*'~ (y=.,a, :".'.„»>>.
Je dis que la suite (g-, , g:2, . . . , g2/t) differe de la suite (A, , . . . , /«2/)) : s'il en etait autrement, la fonction uniforme
seraiten eil'et une fonction fuchsienne de groupe G, et Ton aurait, en designant par (3n fit les arguments des points de contact de S et de par yt, . . . , y{ ceux des points de contact de S et de f2,
/ 8,(j)</;+...+ / ^rf^Aw^+Ws)^-... (< = i.a, . . . ,/>).
Les groupes ([3,, . .., et (y,, y*) seraient alors equivalents, ce qui est impossible, puisque les courbes/. = o el f, = o font part ie de deux systemes de contact diii'erents (38).
II resulte de la que, si Ton considere successivement les r2'' systemes de courbes de contact, on forme r21' systemes de fonctions '§ (z), satisfaisant aux relations
\ vj z + mjJ
et pour chacun de ces r2p systemes, les suites (A,, h2, h3p) sont dilTerentes. Or le nombre de suites diff'erentes qu'on pent former en donnant a /<,,... , h3p les valeurs o, i ,...,/• i est precisement egal &r-p : on voit ainsi qu'il existe un systeme de fonctions § ( z) satisfai-
OKUVUKS OK GKORCES IIIMBERT.
sanl a des relations de la forme precedente, oil ht, h2 sont des entiers choisis arbitrairement.
i5. Nous pouvons par suite euoucer le theoreme algebrique suivant :
SotV G un groupe fuchsien, derivant de i p substitutions ( 1 ). On pent former des fonctions uni formes dans Vinterieur du cercle fondamental, i(z) satisfaisant aux relations
■ih, —
; , \ \ "j" j^7 ) est une quelconque des substitutions fondamentales du
v,z +ro
groupe G, o// hj est un entier choisi arbitrairement.
Les considerations geometriques qui precedent mettent en evidence l'existence et la forme de pareilles fonctions : toutes les fonctions de meme nature s'obtiennent d'ailieurs en multipliant l'une des precedentes par une fonction fuchsienne quelconque, de groupe G.
46, Au point de vue geometrique, on pent deduire de ce qui precede quelques consequences interessantes.
Soient /, = orf 2 = o, . . . , f . — o, /• courbes de contact quelconques, a p par tenant aux systernes
( hli hit •••'•> l>ip ) ( o'li gl, • • • ) gtp )' • • • i ( *l) ^2l' • • * )i
c'est-a-dire telles qu'on ait
/, / lj Z + \J.j
f \VjZ + 73j
(') II s'agit toujours, bien enlendu, des group'es (i qui donnent naissance a un polygone R0 de la nature indiquee au n° 2.
et considerons la fonction
<S>(z)=A(z)A(z)...,fr(z).
On peut ecrire
et, sous cette forme, on voit que est une fonction uniforme, sans infinis dans I'interieur du cercle fundamental, et satisfaisant, puisque f(z) est une fonction thetafuchsienne de degre q, aux relations
Au point de vuc analytique, on est ainsi en presence d'une fonction holomorphe, analogue aux fonctions thetafuchsiennes sans infinis, et il est clair, d'apres ce qui precede, qu'on peut choisir la fonction fr(z) de facon que, quelles que soient/, (s), ... , fr , (z), la quantite
hj + gj 4- . . . + l j
ait, suivantle module/-, une valeur entiere quelconque (/ = i, 2, -±p), On peut, en particulier, etant donnes les systemes auxquels ap'partiennent les courbes f, — o, = o, choisir le systeme auquel
appartient la courbe /r = o de faeon que $(-) soit une fonction thetafuchsienne holomorphe.
Nous d irons en ce cas que les r systemes
(hi, h,, . . . , htp), (gu gi, ■ ■ . , ff,p), (/„ I,, • , ■ , tip)
sont complementaires . Les conditions a verifier sont pour cela
Ai + i',+...+ 'i = /'! + 8ff! + ...+ U".
= thp + gip +• • • + 4P = 0 (mod/).
On peut alors (§ VII) enoncer la proposition suivante :
Soient r courbes de contact appurtenant a r systemes complementaires : par leurs points de contact avec S, les points fixes donnes sur cette courbe, et 1 (p — 1) points simples de S situes sur une courbe adjoinle quelconque P, d'ordre n — 3, on peut mener une courbe adjointe <E> d or die n -+- q — 3.
2 jfi OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
Les tangentes menees aux courbes <1> et P, en Pun quelconque des points doubles de S, presentent une propriete interessante. •
Supposons en effet que les courbes /', — o, /, — o, . . . , fr = b appartiennent respectivement, dans les systemes complementaires dont elles font parti. •, aux groupes (st, ss, su ki}, (/,, td ki)f (v,, v2, . .. , v(l ki), c'est-a-dire que Ton ait (note du n° 38)
< (el-)
on en tire
Gette relation peut recevoir une interpretation geometrique analogue a celle qui a ete donnee au paragraphs XI ; en prenant pour axes x., — o et == o les tangentes a S au point double (eh e\ ) et en supposant que les equations des tangentes en ce point aux courbes <l> et I' so i cut respectivement
,r, -+- «,^3 = o, .l\ -+- b(X3 — o; on voit comme au n° 31 que la relation qui precede doniie
En d'autres ternies :
Les points de contact avec S de r courbes appartenant a des systemes complementaires el faisant partie de groupes determines, sont silues, avec les points fixes donnes, el les (zp — i) points simples oil S est traversee par une courbe adjointe quelconque P d^ordre n — 3, sur une courbe adjointe <t> d'ordre n -f- q — 3 : le rapport anhai monique du faisceau forme pur les tangentes a la courbe S en an. de ses points doubles, el les tangentes en ce me me point aux courbes <I> el P, est egal a une des racines rlemes de I'unile, el il resle fixe quand les courbes
APPLICATION T>E LA TKF.OR I E OES KONCTIONS FUC.HSI F.N NF.S .
de contact consider ccs raricnl sans cesser <C apparlenir aux sysle/nes et aux groupes primitivemenl fixes.
On peut loujours, etant donnas les groupes auxquels appartiennent dans leurs systemes, supposes toujours complementaires, les courbes ft = o, . . .,/,., = o, choisir le groupe de la courbe fr = o, de fagon qu'on ait
Si ■+- t, •-+-...+ v, ■= o ( mod r) ( i = i , 2, . . . , d — /r, ), et Ton a en ce cas
Les points de contact des r courbes considrrecs sunt alors situes, avec les points fixes, sur une courbe de degre q (n° 33).
Nous dirons en ce cas que les groupes (s t ,s2, ...,sd kt), (tt, ...,-td ki), . .., (V,, v2, • • • , Vd-ki) son' complenientaires .
On pent done enoncer le tbeoreme suivant :
Les points de contact de r courbes appartenant a des systenies et a des groupes complenientaires sont situes, avec les points fixes, sur une courbe de degre q.
En particulier :
Les points de contact de r courbes appartenant a un meme systerne et a un meme groupe sont situes, avec les points fixes, sur une courbe de degre q.
II resulte egalernent de la que :
Si par les points de contact de r — i courbes quelconques de la famitle conside'ree et par les points fix-es, on mene une courbe de degre q, cette courbe coupe S en I nouveaux points, qui sont les points de contact el'une r'e"'e courbe de la meme famille. Le systerne el le groupe auxquels appartient cette courbe restent fixes quand les systemes et les groupes auxquels appartiennent respectivement les r — i premieres courbes restent fixes eux-memes. Si les r — "i premieres courbes appartiennent a un meme systerne, la i**"*" courbe appartiendra a ce systerne.
47. L'equation de la courbe qui passe par les points tixes et les
points de contact de r courbes du meme systeme et du meme groupe est facile ii former.
Soienl f, — o, . . . , fr = o ces courbes.
On a
/, (z) = CD (Z ) (X, Cp, + X2 Cp2 + . . . -+-
//•.(-) = <P(«) (W|«Pl+ • )'•
La fonction $(z) a ici pour expression
<P ( 3 ) = cp (;;) (X, cp, + X, cp5 + . . .) . . . (73, cp, + . . .).
En developpant le second membre et rernpla^ant, comme au ft? 38,
5P(a) <Pi C*>) par A,. 0i.. o,
?(-)?'r' (-) par A'-i.i,...o,
on obtiendra ie premier membre de, Inequation cherchee
O = X, JUt-i . . .GT1Ar'°- (X2fA,. . .5J, + >.,fAi. . .73,+ .. . + X, /X, . . . T34) A,-i,i,..,o + • • •
+ X,„,/ + /.l fX„, + . . . Effm-rf + A, A0,o, .../••
48. Dans le cas ou les courbes de contact de degre q ne passent par aucun point fixe donne sur S, on a
/•/ — nq.
Supposons qu'on ait aussi
/'</'= nq',
r' et q' etant des entiers inferieurs k ret h q.
Soient jf, — o, . . . , fr, — o, r' courbes de contact quelconques : posons
V{z) =f\(z)fl{z)...fl,{z).
La fonction /, (z),y2 (s), . . ./r(-z'). a pour zeros : i° chacun des zeros communs a xK (z), ac.2(z), x^(z) au degre qr ou q'r de multiplicity ; 20 chacun des arguments des points de contact de S et des courbes ft =0, = 0, au degre r de multiplicity : il en resulte que ^'(s)
est une fonction uniforme, et Ton demontre comme plus haut les pro-
positions suivantes :
• o = V p., ...m, A''.°-°+ (X2fjL,. . . nj, -+- X,p,...ro, -4-...-+- XifL,...v») A'-'-1--1--
Si /?«/• points de contact de r' — i courbes quelconques de la famille. consideree on mine une courbe de degre q', cetle courbe coupe S en I nouveaux points qui sont les points de contact dUine r"me courbe de la mime famille.
Le sysleme et le groupe auxquels appartient cetle courbe restenl fixes quand les systemes et les groupes auxquels apparliennent respeclivement les r' — i premieres courbes restent fixes eux-memes.
Cas particuliers.
49. Supposons que les courbes de contact de degre q ne passenl par aucun point fixe donne sur S, de sorfe qu'on ait
;•/ = nq .
Admettons de plus que
s etant un entier, el r' el q' etant premiers entre eux.
11 est clair qu'on aura une courbe de contact de degre q, ayant avec S en / points un contact d'ordre r— i, en prenant une courbe de degre q', ayant en I points un contact d'ordre r — 1, et en comptant cette courbe s fois.
Soit <p = o l'equation d'une telle courbe de degre q' ; designons par [3, , . . . , fti les argments de ses points de contact avec S, et par a, , . . . , a, ceux des points de contact avec S d'une courbe de degre q.
On aura (§ III)
/ 9,(z)dz +...-+- j 9i(z)dz = -(Aw. + A'd! + ...). Si nous considerons le systeme de courbes pour lequel
on aura, /'=o etanl I'equation d'une d'entre elles,
ou
'j'(-) etant une fonction fuchsienne d'ordre /, ayanl pour infinis p„ ...,p,(n° 38).
On a, de plus,
91 ( « ). Vs ( O = ( e > ^' K) ' ('(= i, 2, ., : ,
oil
Considerons celles de ces equations qui correspondent a
La fonction <p (e4) <|f' (e,) est evidemment une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre \).q' , admettant comme zero de multiplicity q' chacun des /• zeros communs a x{ (z), x2(z), x3(z) : les relations precedentes expriment done que les autres zeros de cette fonction sont les arguments de points de S situes sur une courbe de degre q . En d'autres termes, la courbe f=o est une courbe de degre q' comptee s fois.
Les relations precedentes, ou l, —... = t(l = o peuvent s'ecrire, en extrayant les racines j-'Umr\
<l , lis
11 en resulte que, parmi les rd groupes de courbes que comprend le systeme considere, il en est r"1 qui ne renferment que des courbes de degre q' comptees s fois ; le nombre des groupes de degre q indecomposables, compris dans le systeme considere, se reduit ainsi
a rd — r'd.
Mais il peut se presenter un cas important ou ces resultats se modi- (ient : e'est celui oil q' est inferieur a n — 2.
En ce cas, il suffit que nq' — ^ (q' + l)(?' + 2)'"/'+ 1 des e(lua" tions (19), oil Ton a fait t, = t2 = . . . = o, soient verifiees pour que les zeros de op (s) '.J/'( z), autres que les zeros communs de cc, (z), x.x (z), x3(z), soient les arguments de points de S silues sur une courbe de degre q' (n° 33); et, par suite, a tout groupe de d equations de la forme (19), pour lequel nq' — ^ (q' -+- 1) (q' 4- 2) — p -+- 1 au moins
des entiers / scront nuls, correspondent des courbes de degre q' comptees s fois.
Le nombre de ces groupes est, coinrae on le voit aisement, egal a
I + ^(,-,)^^^(,-o-+...+rf(f/~1);^(\-<:')(.^-.)^
en posant, pour abreger,
I — nq' r- - ( q' '-+- i) (q' -4- 2 ) — p + 1
et
Chaque groupe d'equations (19) donnant naissance a r'd groupes d'equations (20), on voit ainsi que le systeme considere renferme un nombre de groupes de courbes de contact indecomposables de degre q egal a
Les autres groupes de ce systeme ne comprennenl que des courbes de degre q' comptees s fois. Si \ est nul ou negatif, il est clair qu'on aura N = o.
Courbes de degre /; — 3 tangentes a 8 en tous leurs points de rencontre
avec cette courbe.
51. Cherchons le nombre des courbes du degre n — 3 qui passent par points doubles de S et qui touchent cette courbe en tous leurs autres points de rencontre avec eLle.
OEUVRF.S DK <;i:or(;es HUMBERT.
II resuite du theoreme general du n° 38 et de la remarque du n" 42 qu'i/ y a i'2'1 systemes de telles courbes; les points de contact <lcs courbes d'un me me systeme forme nt des groupes equivalents .
Chaque systeme comprend 2''~A|' courbes, de sorte qiSil existe en tout 22/'+rf-*-1 courbes repondant a la question.
On a, sur les syslemes de points de contact, des theoremes analogues a ceux du n° 46.
On voit, coinrne an n" 49, que ces resultats se modifient si k{ est nul et si n — 3 est pair, c'est-a-dire si n est impair.
Soil n — 3 = 2 v, = o.
Parmi les systemes des courbes de degre n — 3 tangentes a S en tous leurs points de rencontre avec celte courbe, d en est un pour lequel les groupes des points de contact sont equivalents an groupe
de — — — — points silue's sur une courbe de degre v.
Ce systeme ne comprend que N, courbes indecomposables de degre n — 3, etanl pose
