II. — Courbes de genre un et zero

.">. Dans ma These de Doctorat (3), j'avais applique des methodes analogues a l'etude des courbes de genre un; parmi les resultats qui me sont personnels, on peut citer les suivants :

J'indique, etant donnee l'expression des coordonnees des points d'une courbe de genre un en fonction elliptique d'un parametre, le moyen de reconnaitre si elle est de genre un ou zero, a I'aide d'operations algebriques simples. Dans le premier cas, je forme son equation sans introduire de facteurs etrangers, ainsi que les equations de ses adjointes d'ordres n — 3, n — 2, n — 1, en designant son degre par n.

Apropos du probleme des courbes de contact, traite par Clebsch, je donne des proprietes, non seulement des points de contact, mais des courbes elles-memes, avec application aux coniques biosculatrices a une cubique plane.

En appelant points conjugues dans un systeme s deux points d'une courbe de genre un dont les arguments elliptiques ont pour somme s, j'indique sur ces systemes de points de nombreux theoremes; par exemple :

La droile qui joint deux points conjugues dans un systeme s enveloppe une courbe unicursale de classe n — 2, d'ordre 'in — 3, qui touche la proposee en 3n — 8 points.

Le Memoire 3 se termine par une etude detaillee des cy cliques, ou courbes anallagmatiques du quatrieme degre : c'est surtout la consideration des systemes de points conjugues qui me conduit a des resultats nouveaux; le suivant sert de base a toute une theorie des cycliques homofocales :

Le lieu des centres des cercles de rayon nul qui passent par deux points d'une cyclique, conjugues dans un systeme donne, est une cyclique homofoe ale.

6. Dans la Note 10, j'applique aux courbes unicursales une methode