IV
et
(d-i)(d-*) (rf-Q... (>■' + ■)
- , 3 // - — ia/i-4-1
II comprend, de plus, toutes les courbes de degre comptees deux f'ois.
Pour X' nul ou negatit', on aura
52. Remarque. — Ces resultats cessent d'etre exacts si la courbe de degre n — 3 doit passer par tous les points doubles de S(d — /-, >, car les equations (17) du n° 38 n'existent plus, et les equations (16) se reduisent a p — 1 d'entre elles (n° 9). En ce caSj les quantiles //, h', ... qui figurent dans ces equations ne sont pas independantes, ct le nombre des systemes de courbes de contact est inlerieur a f1'' .
APPLICATION DK I. A TIIEORIE DES FONCTIONS KUCHS1ENNES.
Application aux courbes du quatrieme degre.
53. JI est aise de voir que les formules qui precedent s'appliqttent au cas qui semblc echapper a la methode de p = o.
Nous pouvons done enoncer, pour toutes les courbes du quatrieme degre, les propositions relatives aux systemes de coniques quadritangentes.
[. Courbes du quatrieme degre sans point singulier. — II y a 04 systemes de coniques langentes a la courbe en 4 points : Tun de ces systemes ne comprend que des droites comptees deux fois.
L'equation generale des coniques comprises dans fun des 63 autres systemes est de la forme
~kt et A2 etant des constat) tes arbitraires.
Les points de contact de deux coniques du me/ne sysle/ne sont sur une conique.
II. Courbe S du quatrieme degre a un point double (e). — // y a 16 systemes de coniques de contact : chaque systeme comprend deux groupes de coniques, et l'equation generale des courbes d'un groupe est de la forme (21). Toutefois, Fun des systemes ne comprend que des droites, comptees deux fois.
II n'y a done, en realite, que 3o groupes de coniques de contact ( 1 ).
Les points de contact de deux coniques de meme systeme et du meme groupe sont sur une conique.
Par les points de contact de deux coniques de meme systeme et de groupes diffcrenls, on peat mener un faisceau de cubiques qui onl commc neiwieme point commun le point double e.
Une quelconque de ces cubiques, C, coupe en outre la courbe S en deux nouveaux points, determinant une droite I) qui passe
(') Et non 3i, oomme il est dil dans les Legons sur la Geometrie de Clebscli, trad. BiiNOisf, t. HI, p, 278.
par le point e. En ce point, la tangente a C est la conjuguee harmonique de D par rapport aux deux tangentes de la courbe S.
III. Courbe S da qualrieme degre a deux points doubles. — fly a quatre systemes de coniques de contact ; trois (Centre eux rcn ferment qua/re groupes, et I'equation generale des courbes d'un des groupes est de la forme (21). Le dernier systeme ne comprend qu'un groupe de coniques proprement dites et renferme en outre les droites du plan, romptees deux fois. II n'y a done, en realite, que i3 groupes de coniques de contact.
Les quatre points de contact d'une conique du dernier groupe sont sur ane conique qui passe par les deu.r points doubles et et e.,, et louche en chacun d'eux la conjuguee harmonique de la droite e{ e., par rapport au.v deux tangentes menees a S en ce point.
Les points de contact de deux coniques du meme systeme et du meme groupe sont sur une conique.
Dans un meme systeme, on peut distinguer les quatre groupes, suivant la notation du numero, par les symboles (0,0), (0,1), (1,0), (1, i)(n°46).
Les points de contact de deux coniques appartenant a un meme systeme et aux deux groupes (a, (3) et (a', [3') sont situes, avec les points doubles e, et e2, sur une cubique C.
Cette cubique louche au point e, la droite ete.,, si a + a' est pair, et la conjuguee harmonique de et e2 par rapport aux deux tangentes de S en en si a + a' est impair.
De meme elle louche au point e2 la droite e{ e2, si ft -+- ft' est pair, el la conjuguee harmonique de e{e2 par rapport aux tangentes de S en e.,, si ([3 + (3') est impair.
IV. Courbe S du qualrieme degre a trois points doubles. — II n'y a qu un seal systeme de coniques de contact ; il renferme huit groupes de coniques, et I'equation generale des courbes d'un groupe est de la forme (21). Toutefois, quatre de ces groupes ne eomprennent que des droites coinplees deux fois : il n'y a done en realite que quatre groupesde coniques de contact ( 1 ).
(') El non 7, corame il est dil dans les Leqons sur la Gtoindtrie (ibitl., p. 3o0j. Les Irois groupes, designcs dans ce passage par les symboles (o, o, 1), (o, 1,-0) (1. o, o), ne eomprennent que des droites comptees deux fois.
Les points de contact de deux coniques appar tenant a un mSme groupe sont sur une conique.
54. On peut donner des resultats analogues pour les cubiques oscuiatrices en quatre points a une courbe du quatrieme degre. Nous ne les enoncerons que pour les courbes sans points doubles et les courbes a un point double.
Courbe S du quatrieme degre sans point singulier. - II y a 729 systemes de cubiques osculatrices a la courbe en qualre points: l'un de ces systemes ne comprend que des droites comptees trois fois. L'equation generale des cubiques comprises dans l'un des 728 autres systemes est de la forme
(22) 3i}A+ 3X2AJ B + 3X4* € + Xj I) = o,
A, et >u etant des constantes arbitraires.
Toute cubique menee par les points de contact de deux cubiques coupe S en quatre nouveaux points qui sont les points d1 osculation (rune autre cubique : le systeme auquel appartienl cette derniere reste fixe si les systemes auxquels appartiennent i-espectivement les deux premieres cubiques restent fixes.
Les douze points de contact de trois cubiques d'un merne systeme sont sur une cubique.
Toute conique menee par les points de contact d une cubique coupe S en quatre nouveaux points, qui sont les points d: osculation d'une autre cubique : le systeme auquel appartient cette derniere courbe reste fixe quand le systeme auquel appartienl la premiere reste fixe (n° 48).
Courbe S du quatrieme degre a un point double, e. — II y a 81 systemes de cubiques osculatrices en quatre points : chaque systeme comprend 3 groupes, et l'equation generale des courbes d'un des groupes est de la forme (22). Toutefois, l'un des systemes, que nous designerons par la notation (o, o, o, o) ne comprend que des droites comptees trois fois.
II n'y a done en realite que 240 groupes de cubiques de contact.
Designons les systemes par les symboles («, b, c, d) et les groupes par les symboles (a) : a, b, c, d, a pouvant prendre les valeurs 0,1, 2 (n° 4C>)."
Soient trois cubiques appartenant respeetivement aux systemes
(a,, bt, cu dty, (as, bt, ct, d,), (3 — ax — a,, 3 — (!>, — b*> 3 - r, — c2, 3 — dl — d2),
et aux groupes
Si a, + a2 -h a3 = o(mod 3), les douze points d'osculation des trois cubiques sont sur une meme cubique.
Dans le cas contraire, on pourra par ces points et le point double e mener nn laisccau do eourbes du qualrieme ordre : I'une (jneleonque de ces eourbes, C, coupe S en deux nouveaux points qui determinent une droite D, passant par e. Le rapport anharmonique du faisceau forme par la tangente en e a la courbe C, les tangentes an meme point
2/ Tl
10t. I Ot- 1 PC,,)
a S, et la droite D, est egal a e a • : il est done equianharmonique.
Les douze points d'osculation de trois cubiques du meme systeme et du meme groupe sont sur une cubique.
Toute cubique menee par les points d ] osculation de deux cubiques quelconqucs coupe S enquatre nouveaux points qui sont les points d'osculation d une nouvelle cubique : le systeme et le groupe auxquels appartient celte derniere restent fixes si le systeme el le groupe auxquels apparliennenl les deux premieres restent fixes eux memes.
Les points de contact de deux cubiques, appartenant respectivement
aux systemes.
(«!, &!, Ci, Hfj) el (3 — 3 — />, , 3 — Cj . 3 — rf,), et aux groupes
(xy) et (3 — «,)>
sont sur une coniquc.
Toute coniquc menee par les points d'osculation d une cubique coupe S en quatre nouveaux points qui sont les points d'osculation d une autre cubique ; le systeme el le groupe auxquels appartient celte derniere restent fixes si le systeme et le groupe auxquels appartient la premiere restent fires eux-memes.
APPLICATION DI3 LA TIIF.ORIK I) ICS KONCTIONS FUCHSIENMOS.
Coniques tangentes en cinq points a une courbe du cinquieme degre.
55. Nous ferons une applicati on des resultats du n" 51 aux courbes du cinquieme degre.
Courbe du cinquieme degre d un point double ('). - II y a 1023 coniques louckanl la courbe en cinq points.
Courbe, du cinquieme degre a deux points doubles. - Les coniques tangentes en cinq points se repartissent en systemes ; chaque sysleme comprend deux coniques, sauf un qui ne cotnprend que des droites comptees deux fois. Ily a done 5 10 coniques de contact.
Courbe du cinquieme degre a trois points doubles. — Les coniques de contact sc repartissent cn 64 systemes ; chaque sysleme comprend 4 coniques, sauf un qui ne comprend que des droiles comptees deux fois. Ily a done 232 coniques de contact.
Courbe du cinquieme degre a quatre points doubles. — Les coniques de contact se repartissent en 16 systemes; les quinze premiers comprennent chacun 8 coniques, le dernier ne comprend qu'une conique proprement dite. Par les cinq points de contact de cette conique el les quatre points doubles on peul /aire passer un faisceau de cubiques : V une quelconque de ces courbes C coupe, en outre la courbe du cinquieme degre en deux points, situes, avec les points doubles, sur une conique H. Les tangentes menees en un quelconque des points doubles aux courbes C et H sont con/uguees harmoniques par rapport aux tangentes menees a la courbe du cinquieme degre en ce point.
Ily a en tout 1 2 1 coniques de contact .
Courbe du cinquieme degre a cinq points doubles. — Les coniques de contact se repartissent en \ systemes; 5 d'entre eux comprennent chacun 16 coniques; le dernier ne comprend que 5 coniques proprement dites. Par
(') SuivanL la remarque du n" 53, les f'ormules qu'oti y a donnees ne s'appliquent pas au cas de la courbe sans point double, puisque d = kt= 0.
USUVRES Dli O. Ml Ml: ( 1; I T. I. 33
OKUVKES UK GEORGES HUMBERT.
les cinq points de contact de Cune de ces coniqu.es el les cinq points doubles on peat faire passer une cubique C. Les tangentes menees en quatre des points doubles a la courbe C et a la conique 11 des points doubles sont conjugates hannoniques par rapport aux deux langentes de la courbe du cinquieme degre au point considere. Au cinquieme point double, les courbes C et II se touchent.
lly a en tout 53 coniques de contact.
Courbe du cinquieme degre a six points doubles. — // y a 16 coniques de contact.
Proprietes geometriques des courbes de contact.
56. Comme derniere application de la theorie des courbes de contact, nous don nerons quelques proprietes geometriques applicables aux courbes d'un meme groupe, quand leur equation generale renfenne un parainetre arbttraire (
Soil
nq = 2 A-! + k2-+- rl
et
I — p — il -+- k i HH p — - ' •
Les courbes considerees sont celles de degre q qui passent par k{ points doubles et k., points simples donnes sur S, et out avec cette courbe en / points, formant un groupe d'indice p, un contact d'ordre r — i .
L'equation generale des courbes d'un meme groupe sera de la forme
vx kF p A,, % ;'(/'~ 0 i\- 1 xj A,, 1-K*'« .'•+■ X; A0 = o.
Nous appellerons ces courbes, pour abreger, courbes A. Soient r de ces courbes :
o = A = ocrAr-\- /-a''-1 A,.i -t- . . . -t- A0, ^x — y-^j,
(!) Nous avons signalc cos proprietes dans le cas oil la courbe S est de genre i.
APPLICATION DE LA TIIEORIE DES KONCTIONS FICHSIENNES. ?.5c)
Les rl points de contact de ces courbes avec S sont (46) sur une courbe de degre q, qui passe par les points fixes donnes, et dont ['equation est (47)
o — a(3 . . . XA, -+-(a(3 . + + (3... >. -+- a. . .1 + .. .) A,., + . . . -t- A„.
Le coefficient de AA est la somme des produits & a k des r quantites a, [3, . . . , \.
Courbes A menees par un point du plan. — Soit (x\, x'2, x\) un point du plan; on peut moner, par ce point, / courbes A : les valeurs correspondantes du parametre sontdonnees par l'equation
o == arK'r + rxr-i A',., + . . . + A'0,
en posant
A k = A/; (x j , xlt x3).
Soient a, (3, . . . , X les racines de Fequation precedente : la somme de leurs produits /' a k etanl
