XIII. — Des courbes hyperelliptiques
57. On dit qu'une courbe S (de genre p et de degre n) est hypcrelliptique quand il existe snr cette courbe un systeme simplement infini de groupes g\ formes de deux points : nous dirons (jne les deux points d'un groupe sont conjugues.
Le systeme en question est un systeme special, d'indice p = p — i, puisque dans les formules du n° 19 il fant faire h — 2 et r = i.
D'apres le theoreme de Riemann et Rocb, les courbes adjointes a S d'ordre n — 3, qui passent par les deux points d'un groupe, torment un systeme p — i, c'est-a dire p — 2 fois infini; leur equation generale est done de la forme
o = a, P, 4- o.2Fa + . , .-+-
... etant des constantes arbitraires. En d'autres termes, les fonctions thetafuchsiennes liolomorphes du premier degre, qui s'annulent pour les arguments des deux points d'un groupe, out pour expression
6{z) = alBl-h <7.>02 + . . . + a,,xBp i.
Comme il n'y a que p fonctions thetafuchsiennes du premier degre lineairement independanles, il resulte de la que :
Toute fonction thetafuchsienne holomorphe du premier degre, qui
APPLICATION DE LA TIlfiORIF. DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 26 1
s'annule pour I'argu merit d'nn point, s'annule pour I'argu nienl du poinl conjugue, et geometriquement :
To ale courbe adjointe d'ordre n — 3, qui passe par un poinl d^une courbe hyperelliptique, passe par le conjugue de ce point.
Line courbe adjointe d'ordre n — 3 passant par deux points conjugues coupe en outre S en z(p — 2), points par lesquels on peut, d'apres le theoreme de Roch et Riemann, faire passer un faisceau de courbes adjointes d'ordre n — 3. Soient 0, et 02 les tbnctions thetafuchsiennes holomorphes du premier degre qui correspondent a deux courbes de
ce faisceau : fa f'onction fuchsienne J . n'a que deux infinis dans I'in-
terieur du polygone generateur; ell e est done d'ordre deux. On peut dire, d'apres cela, que :
Pour que deux f one lions fuchsiennes de mcme groups (\ soient lie'es par une relation hyperelliptique, f = o, il faul et il sufjit qiCune des fonct ions fuchsiennes du m^rne groupe soil du second ordre.
La condition est suffisante, car, F(z) etant cette fonttion, les deux zeros de l'equation F(s) = const, dcterminent sur la courbe / = o un systeme de groupesg^.
Equation generalc et enveloppe des droites joignant deux points con/ ' agues.
58. Une droite f— o joignant deux points conjugues coupe S en n — 2 autres points, determinant un groupe dont la multiplicity est en general n — p — 2 : il en resulte qu'en designant par ^> = o l'equation d'une droite analogue, on aura (n° 37)
F't", F1,2.1 etant des functions fuchsiennes d'ordre deux, F2", F(" p 11 des fonctions fuchsiennes d'ordre n — 2 ayant respeetivement memes infinis! Ges infinis sont pour les F, les arguments des deux points conjugues situes sur la droite 9 = o, pour les F2, ceux des n — 2 autres points de S situes sur cette droite.
26?. oeuvb.es tie ceorges Humbert.
Les constantes a et ft seront liees par n -p — i relations de la forme (37)
|3i ( ni| a, + m2a2) -H (32(/i, a, + rc2sc2) + . . . — o,
//?,, ... eta nt des constantes. De ces // p - i relations, on tirera les valeurs proportionnelles des ft
fit fn ••• etant des polynomes homogenes de degre n — p — i en a,, a2. On aura ainsi, sous forme symbolique,
Dans le second membre, a, et a., entrent done au degre n — p — i, et I'equation generale des droites joignant deux points conjugues sera de la forme
0 = z-i <prt-,,-i -f- a?j ^„/,, + J?3 '/«-/>-!»
cp, ... etant des polynomes homogenes de degre n — p — i en a,, a,. Done :
Les droites qui joignent deux points conjugues sur une courbe hyperelliptique, de degre n et de genre p, enveloppent une courbe unicursale de classe n — p — r et de degre i(n — p — 2) en general.
59. Cette courbe, comme nous l'avons fait voir dans le cas des courbes de genre un, touche S en un certain nombre de points, que nous allons determiner. Pour abreger, nous designerons par droites D les droites joignant deux points conjugues.
Les valeurs proportionnelles de a, et a, qui correspondent aux n — p — 1 droites I) qu'on peut mener par un point de S, d'argument z, verifient I'equation
x \A FV 1 ( = )-+-.■• + /«-,-. F'2"-"- » (z) ] ;
/,, f.,, ... sont les valeurs proportionnelles trouvees plus haul pour ft{,
[i2, — Cette equation adni'et d'abord la solution
oci=Fr(z), a2=-F'1"(G),
qui correspond a la droite joignant le point z a son conjugue.
Remarquons maintenant que les points de S situes sur l'enveloppe des droites J) sont tels que ['equation precedente ait deux racines egales en ~, et, en ces points, l'enveloppe touche la droite D qui correspond a la racine double. Or, parmi ces points, figurent ceux dont les arguments sont tels que les deux facteurs entre crochets dans le second meinbre de(23)aient deux racines egales, c'est a-dire tels qu'on ait
+/„,-[ F ,2 '(-),- F1," ( - ) ] FT"" 1 1 ( * ) = o.
Soit z0 une solution de cette equation : la droite D„, qui joint le point z0 a son conjugue, coupe S en des points dont les arguments verifient la relation
%l et a* etant lies par l'equation
«»F<1',(^o)+«5Fl.J,(-o) = o.
Or la fonction
c'est-a-dire
• /[F^'(3o),-F^e0o)3FV'(^)+,..
s'annule, par hypothese, pour z = z0 : les deux facteurs entre crochets du second membre de l'equation (24) s'annulent done separement pour z = s0, et par suite la droite D0 est tangente a S au point z0.
II en resulte que la courbe enveloppe des droites D touche S aux points dont les arguments verifient l'equation
(25) o=ft[V?>(z). - l-V'(-)] #(*) + . • • .
Les F, sont des fonctions fuchsiennes d'ordre deux; les F2 des fo notions d'ordre n — i, ay ant respectivement memes infinis; f%*f%% des polynomes d'ordre n — p — 2 : il en resulte que le second membre
de I'equation precedente esl une i'onetion fuchsienne d'ordre
2 ( « — /; — 2) -\- n — 2 — in — 2p — 6,
et par suite :
La courbe enveloppe des droites qui joignenl deux points conjugues sur une courbe hyperelliptique, de degre n et de genre p, louche cette courbe en 3n — ip — 6 points.
On peut dire de plus, en remarquant que les inlinis du second membre de ('25) soul : 1" les arguments des deux points conjugues situes sur la droite <p — 0, an degre n — p — 2 de multiplicity ; 20 les arguments des n — -i autres points de S situes sur cette droite, que :
Le groupe determine par les 3n — 'ip — 6 points de contact est equivalent an groupe forme par n — p — 9. couples de points conjugues quelconqucs, et les n — 1 points oil la droite qui joint deux de ces points coupe de nouveau la courbe hyperelliptique .
Courbes de genre deux.
60. Toute courbe de genre deux est hyperelliptique, car ses courbes adjointes d'ordre n — 3 sont en nombre simplement infini et n'ont avec elle que deux points mobiles d'intersection : ces deux poinls determined un systeme de groupes g\.
La courbe la plus simple de genre deux est la courbe du quatriime degre a un point double : toute droite inenee par ce point coupe en outre la courbe en deux points qui sont conjugues.
Les coordonnees des points d'une courbe S du quatrieme degre a un point double peuvent se mettre sous la forme
0,, 02, 03 etant des fonctions thctafuchsiennes holomorphes de degre trois, ayant deux zeros communs a, et <x., (') ( § VI).
(') D'apres la theorie generale, il semble qu'on pourrait aussi prendre pour a?j, x.,, xt des fonctions thSlafuchsiennes de degre deux. Mais, si Ton designe par 0, et 92 les deux fonctions tlietafuchsiennes de degre un et de genre deux, celles de degre deux, qui sont au nombre de trois, se reduisent evideinmcnt aux fonctions 0j', 0,0, et 0| : la courbe decrite par le point x u xs, a?s *erait alors une conique.
Soient 0t(z) et 0,(.s) les deux fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre un : chacune d'elles a deux zeros dans le polygone generateur; et les deux zeros de toute fonction lineaire, de la forme
sont les arguments de deux points conjugues de S (n° 4).
Proposons-nous de cteerchef les conditions neeessaires et suffisantes pour que trois couples de points conjugues, dont les arguments verifient respectivement les relations
. X,0, -+- fJL,0i= o, X20, + fx202 = o, X30,-f- ^362= o,
soient, sur une conique, f = o.
On aura
f(s ) = ( x, 9, + |i, e,) ( x2 e, + fx, e2 ) a3 e, + )
X (3) -+- «2?2 (-)+... + asyh(z)]
OU
f{z)^{aQ\ + pB\Qi+yd,fJl + o6\)[a^l{z) +...],
<p4, ...,cp5 designant cinq fonctions thetafuchsiennes de degre trois lineairement distinctes, a, , . . . , as des constantes.
Pour que f(z) soit une fonction du second ordre de xy(z), x2(z), a?3(s), il faut d'abord qu'elle admette comme zero double chacune des quantites at, a2 ; ce qui donne, en annulant pour ces valeurs la fonction a, ©,(:;) -k . . et sa derivee, quatre relations lincaires en a,, a~ qui determinent les valeurs proportionnelles de ces quantites. II restc ainsi
/( z ) = d, ( z ) ( X, 9i + jft, 6, ) , . . ( If 6, + fx3 9S )
ou
f{z) = wz)(*e\ + 395).
On ecrira ensuite la relation
e' designant les arguments qui correspondent au point double de S. Cette equation est de la forme
«a + 6|3-)-cy4-rf<5 = o,
ou
+ c(Xtfi2^34- fA,X2fi3+ f*i(XtAg) -+- d^p^—O,
OEUVRES l)E GEORGES HUMBERT.
a, b, c, d etant des constantes ; c'est la relation cherchee entre les quantites X et (j..
Remarquons qu'en tenant compte de la relation precedente mise sous la premiere forme, on pent ecrire
'|v tyz* sont des fonctions thetafuchsiennes de degre trois; a, (3, y des constantes arbitraires, et une fonction thetafucbsienne de degre trois, qui a, en outre des quantites a, et a., comptees deux fois, deux zeros, a, et a,.
