De la resultent les consequences suivantes
Les coniques qui traversent trois couples de points conjugues, sur une courbe du quatrieme degre a un point double, passent par deux points fixes de cette courbe et jorment une famille line aire deux fois injinie.
On en deduit sans difficulte que la droite qui joint les points fixes, a, et (j.,, coupe en outre la courbe en deux points qui sont situes respectivement sur les tangentes menees a S au point double.
Si Ton fait une perspective de la courbe S de maniere a faire coincider les deux points fixes avec les points cycliques du nouveau plan, et si Ton se souvient que la droite joignant deux points conjugues passe par le point double, on voit que :
La nouvelle courbe est anallagmatique par rapport a son point double. En d'autres termes :
Toute courbe de quatrieme degre du second genre, qui passe par les points circulaires d I'injini et a en outre pour directions asymptotiques cedes des tangentes au point double, est anallagmatique \par rapport a ce point.
Cette proposition se verifie directement sans difficulte.
G2. Nous n'insisterons pas plus longtemps sur cette tbeorie, nous nous bornerons a enoncer la proposition suivante, qui est une consequence des theoremes generaux sur les courbes de contact (n° 38 ).
APPLICATION DE LA THKORIE DES KO-NCTIONS F PCHSIENHES . z6~
H existe trois coniques osculutriccs , en deux points con/ agues, a une courbe du qualricme degre, de genre deux : les six points (/'osculation sont sur une conique.
(les quatre coniques passent d'aillcurs par les deux points t, et n.,.
63. La courbe du cinquieme degre, de genre deux, a quatre points doubles : les coniques menees par ces points eoupent en outre la courbe en deux points, qui sont conjugues.
D'apres les resultats du n° 27, il y a deux especes de courbes de degre cinq et de genre deux.
64. Pour les courbes de premiere espece, les coordonnees d'un point sont des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre trois, ayant un zero commun.
Sur une telle courbe, S, trois couples de points conjugues sont toujours sur une cubique, passant par les quatre points doubles et coupant cn outre la courbe en un point fixe a (n° 27) : si nous considerons une droite D, menee par a, et coupant S aux points a, b, c, d, e, la cubique qui passe par les points b, c, d et leurs conjugues se decompose evidcmment en une droite, qui est D, et une conique qui passe par les points doubles. II en resulte qu'il y a necessairement sur D deux couples de points conjugues; en d'autres termes :
La droite qui joint deux points conjugues sur une courbe de cinquieme, degre, de genre deux et de premiere rspece, passe par un point fixe a, sitae sur la courbe, quelle coupe en deux nouveaux points, egalemenl conjugues .
On demontrerait sans difficulte que :
Le point a est le point de concours de deux tangentes doubles, dont les deux points de contact avec la courbe du cinquiemc degre sont respectivement conjugues.
65. Pour les courbes de seconde espece, les coordonnees d'un point sont des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de degre quatre, ayant trois zeros communs a, , a2, a3.
Les droites I) qui joignent deux points conjugues sur tine courbe de seconde espece enveloppenl (n0" 58 et 59) une conique qui louche la courbe en cinq points. Le groupe determine par ces cinq points est equivalent a celui (les points eommuns a S et a une des droites D (n° 59); en d'autres tennes (n° 24), par ces cinq points et les quatre points doubles, on peut mener un nombre simplement infini de cubiques coupant on outre la courbe en deux points conjugues.
La conique enveloppe des droites I) est done celle que nous avons rencontree au n° 55.
Sur une courbe de seconde espece, trois couples de points conjugues nc peu vent, jamais etre sur une cubique passant paries points doubles.
66. Proposons-nous d'etudier les coniques f=o qui traversent quatre couples de points conjugues. On a
/(s) = (X,0, + |*,0,) • • .(**0, + M1)(ai?iH-«,<Pt + .. - + «7?7)
Oil
f{z ) = ( «6\ + pe\ 9.2 + . . . + s0£ ) (a, <p, + . . . ),
'p, a>7 etant sept fonctions thetafuchsiennes holomorphes lineaire-
ment distinctes, de degre quatre. Pour que /(s) soit une fonction du second ordre de xt(z), a?2(s), x$(z), il faut d'abord qu'elle admette comme zero double chacune des quantites a,, a2, a3 : ces conditions determinent les valeurs proportionnelles de a,, . .., a.t, et Ton a
II faut ensuite que f(z) satisfasse a trois equations (n° 33) de la forme
f{ei):x\{e)=f(e'i):x\{e'i),
(eh e\) etant les arguments d'un des points doubles. Ces relations determinent y, o et e en fonction lineaire homogene de a, (3, et il reste
les constantes a et (3 etant arbitraires.
La fonction <\>(z) a, outre les quantites a,, a2, a3, comptees deux
fois, deux autres zeros a, etT2; il resulte, par suite, cle l'cxpression precedente, que :
Les coniques qui traverse nl quatre couples de points conjugues passent par quatre points fixes dont deux sont silues sur la courbe du cinquieme degre considered; et, reciproquement, toute conique menee par ces quatre points coupe, en outre, la courbe en huit points mobiles, qui sont deux a deux conjugu.es.
On demontrerait de meme que :
Les coniques menees pur un des points doubles de. la courbe, et traversanl trois couples de points conjugues, passent par quatre points fixes, dont trois (y compris le point double) sont situes sur la courbe, et reciproquement.
Les coniques menees par deux points doubles et truversant deux couples de points conjugues passent par quatre points fixes silues sur la courbe, et reciproquement.
