XIV. — De quelques courbes speciales

69. Nous avons du rcserver, au n° 14, pour une etude ulterieure, le cas ou les coordonnees xlt x2, x.3 des points d'une eourbe de genre p sont proportionnelles a des t'onctions thetat'uehsiennes du premier degre.

Nous distinguerons dans ['etude de ces courbes les deux cas suivants.

Dans les deux cas, ./;,, / 3 sont trois functions thetal'uehsiennes holomorphes de degre un ayant k zeros communs, a,, . . . , aA :

i° 11 n'existe pas de systeine de groupes equivalents au groupe des quantites a, , . . ., ak\

20 Le groupe des quantites a,, ...,ak determine un systeme de multipliciie r.

70. Les courbes des deux categories jouisscnt d'une propriete importante qui les caracterise au point de vue geometrique.

Supposons que le groupe (a,, aA) determine mi systeme de multiplicity r.

Lacourbe S, dont ['equation est f — o, decrite par le point xif xif x3, sera de degre n = i(p — i) — k et de genre p(n" 4), et les fonctions thetafuchsiennes holomorplies de degre tin pourront toujours se meltre sous la forme (§ ] )

Pt(asu xit x3) ( dxi dxx\

i{z)=~- — 7T \Xi

II existe r-h i fonclions thetafuchsiennes de degre un, lineairement distinctes, s'annulant pour les i(p — \) — k zeros de x3 aulres que a,, a/r; cette proposition resulte de l'hypothese et du theoreme du reste.

Soient x3, 0,, 0r ces fonctions. On aura, en vertu de l'expression precedente,

Xx __ 0, 02 Br

P, P,, Pr etant les premiers memhres des equations de /'-hi courbesde degre n — 3, adjointes a la courbe S. Les zeros de x3, 0,, 0r sont respectivement (§ 1) les arguments des ■> (p — i) points simples communs a S et aux courbes P = o, P, = 0, . . ., Pr = o. Parinj ces points figurent done les i{p — i) — k points de S situes sur la droite x3 = o, et par suite chacune des courbes P = o, . . ., Pr = o se decompose en une droite x3 = o et en une courbe de degre n — 4- Gomme la droite xs peut etre une droite quelconque du plan, la courbe de degre n — 4 est une courbe adjointe de S.

// y aura ainsi r+ i courbes adjointes de degre n — \, Q = o, Q, = o, . . ., Qr == o, et les premiers membres de leurs equations seront lineairement distincts, sinon il existerait une relation lineaire et homogene entre x, (z), 0, (-),..., Qr(z), ce qui n'est pas. De meme, il n'existe pas de courbe adjointe de degre n — l\, Q,.+ ( = o, dont l'equa tion ne rentre pas dans la forme m O -+- rn{ Q, -+- . . . mrQ,. = o; m, . . . etant des constantes.

Les courbes Q, = o coupent la courbe S aux points multiples et en k points dont les arguments forment un groupe equivalent au groupe (a ,«*).

Dans le cas oil le groupe (a,, aA ) ne determine pas de systeme,

">-72 OEUVRES HE r.EORGES HUMBERT.

il n'existe qu'une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre un s'annulant pour los i(p — i) — k zeros de xa (z), autres que a,, . . .-, aA ; c'est la fonction xa (z ) elle-meme : si, en effet, il existait deux semblables fonctioris x3(z) et 0(g), le groupe des zeros variables de la fonction p, x.t(z)-h p2Q(z), qui est equivalent au groupe (a,, . . . , aA), determinerait un systeme de multiplicite un. II en resulte qu'il n'y a quune courbe adjointe de degre n — 4; el I e coupe la courbe f = o aux points multiples et aux k points d'arguments a, , aa, . . . , aA.

71. Les reciproques de ces propositions sont vraies et se demontrent de la meme maniere. On pent done dire que :

Si une courbe de degre n et de genre p admet une famille lineaire r fois injinie de courbes adjointes d'ordre n — (\ , les coordonnecs des p points de celle courbe sont proportionnelles a Irois jonclions thetafuchsiennes du premier degre dont les zeros communs determinent un systeme de multiplicite r, el reciproquemenl.

72. Cette theorie se lie etroitement a celle des systemes speciaux : je dis, en eff'et, que si le groupe (a,, aA) determine un systeme de multiplicite r, ce systeme est necessairement -special.

La proposition est evidente si k est inferieur a p -h i (n° 20); si Ton a k -+- i , les i(p — i) — k zeros variables de la fonction

alxi-^aijci-ha3.r3,

ou a,, a2, a3 sont des constantes, formeront un groupe qui appartiendra a un systeme de multiplicite i : ce systeme sera special, car la quantite

e'est-a-dire k — p -h 4 est positive par hypothese; d'apres le theoreme de Riemann et Roch le groupe forme par les zeros a,, a* communs k xK , x2, x3 sera egalement un systeme special.

73. On peut tirer de la quelques consequences relatives aux transformations unideterminatives d'une courbe quelconque de genre p.

On sait que, parmi ces transformations, les plus interessantes sont celles ou Ton fait usage de courbes adjointes d'ordre n — 3 : [si C est

une courbe quelconque, de genre p et de degre n, le point de la transformed C, de coordonnees %2, %3, qui correspondra aux points £2, i3 de C sera donne par les relations

r, = Pt(li,5n £a)>

Pi> P2) P3 etant les premiers membres des equations de trois courbes de degre n — 3 adjointes a C.

Cette transformation est unideterminative en general, parce que,

inversement, les fonctions fuchsiennes y- et ^ sont fonctions rationsi si

VP

nelles des fonctions fuchsiennes |f et^3 (n° 5, note).

Or P,(5i, . ..)> Pt(jn» ••■)» P»(5<» •••) sont proportionnels (n° 4) a trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes du premier degre, et Ton en conclut, en s'appuyant sur les resultats precedents, les propositions suivantes :

Toute transformation unideterminative (Vane courbe C, de genre p et de degre n, a Vaide de courbes adjointes d'ordre n — 3 passant par k points simples de C, fait corrcspondre a cette courbe une courbe C de genre p et de degre n', [n' = i(p — i) — k], dont les points doubles sont sur une courbe de degre n' — 4 (' )•

Ainsi, une courbe quelconque C, de genre quatre et de degre n, se transforme, a l'aide de courbes adjointes de degre n — 3, n'ayant en dehors des points doubles aucun point commun sur C, en une courbe du sixieme degre, dont les six points doubles sont sur une conique.

(') Cette proposition constilue bien un thcoreme, car les points doubles dc S' sont au nombre de ^ {ip — k — 3)(2/> — k — 4 ) — p ; le nombre des points qui determinent une courbe de degre ip — k — 6 est d'ailleurs

- (ap — k — 6)(tp^-k — 3), et la difference de ces deux nombres est p — 3 — k.

CEUVRES DE G. HUMBERT, T. I. 35

Une courbe de genre cinq devient, par une transformation analogue, une courbe du huitieme degre, dont les seize points doubles sont sur une courbe du qnatrieme degre.

Plus generalement :

Toute transformation unideterminative d'une courbe C de genre p el de degre n, a Vaide de courbes adjointes d'ordre n — 3 passant par k points simples situh sur C el formant un groupe g, qui appartient a un systeme (special) de multiplicite r, fait correspondre a eelte courbe une courbe C', de degre n', [n' = i(p — i) — k], qui ad/net une famille lineaire r fois infinie de courbes adjointes de degre n' — 4-

. I />• points de C formant un groupe equivalent a g correspondent, sur C, k points situes sur une courbe adjointe de degre n' — l\, et reciproquement.

Cette derniere proposition donne, au point de vue geometrique, une idee assez nelte de la nature des groupes speciaux sur une courbe algebrique.

Si k = o, la courbe adjointe de degre 2(p — i)— 4> qui passe par les points doubles de la courbe transformee de degre i(p — i), ne coupe cette courbe qu'aux points singuliers, car on a identiquement

{ip — 3)(a/> — 4) — 2p — (2p — 6)(2p — 2).

Done :

5/ x{, <v2, x3 sont trois fonctions lliHa fuchsiennes holomorphes de degre un nayajil aucun zero comma n, la courbe S, decrile par le point x1,, a?2, x3, est de degre 2 (p — i) : ses points doubles sont sur une courbe adjointe de degre 2(p — i) — 4i qil< tie la coupe qiien ces points.

74. Pour les courbes S, de degre n, qui admettent des courbes adjointes d'ordre n — 4, les theoremes du n° 16 sont remplaces par les suivants, qu'on demontrerait par une melhode analogue :

Soil C une courbe 'adjointe a S, (fordre n + q — t\ passant par les points non singuliers communs a S el a une courbe adjointe d'ordre n — 4 : les arguments des a litres points (non singuliers) oil cette courbe coupe S anntdent une fonction thStaf uchsienne holomorphe de degre q,

dont les derniers zeros sont les quantites an a*, chacune an degre q de multiplicity.

Inversement :

Soil ®(z) une fonction thStafuchsienne halomorphe de degre q, admettant cotnme zero multiple d^ordre q chacune ties quantites a,, . . . , ak : les autres zeros de eelte fonction sont les arguments de points de S situes, avec les points simples ou S est coupee par une courbe adjointe quelconque d'ordre n — 4> sur une courbe adjointe (ford re n -h q — 4.

75. En partant de ces propositions, on peut repeter les raisonnement du paragrapheXI, en remplacant simplcment les courbes adjointes d'ordre n — 3 de la theorie generale par des courbes adjointes d'ordre n — 4; et les resultats geometriques du paragraphe XII subsistent sans modification.

SUR

QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES

(Journal de Math., 4e serie, t. Ilf, 1888)

1. L'objet du present Memoire est 1'extension a la sphere de la propriety si simple et si remarquable que presente la circonference de cercle pour la mesure des angles situes d'une maniere quelconque dans son plan, et qu'on peut enoncer ainsi : la difference (ou la somme) des arcs intercepted par les deux cotes d'un angle a sur une circonference de rayon R est egale a sRa. Dans l'espace, ce theoreme n'est pas applicable sans modification a la difference des aires que decoupe sur une sphere un cone rencontrant cette surface suivant deux courbes fermees; nous montrerons que cette difference ne depend pas seulement du rayon de la sphere et de la forme du cone, ce qui serait la generalisation directe de la proposition sur la mesure des angles plans, mais qu'il suffit, pour l'exprimer, d'introduire un nouvel element, a savoir la distance du centre de la sphere a un plan passant par le sommet du cone et lie invariablement a ce cone. Nous verrons cgalement que cette propriete s'elend aux surfaces developpables et, en general, aux surfaces reglees; dans le cas special des surfaces reglees, a plan directeur, on retrouve meme la propriete de Tangle plan, e'est-a-dire que la difference des aires decoupees sur une sphere par une telle surface ne depend pas de la position de la sphere dans l'espace. Enfin, les formules relatives au cone nous permettront d'evaluer la difference des aires decoupees sur une sphere par une quadrique, dans le cas ou l'intersection se compose de deux courbes fermees, et d'etablir, relativement a cette difference, quelques propositions curieuses parmi les-

quelles nous signalerons celles qui concernent le parabolo'ide elliptique.

2. Proposons-nous d'evaluer d'abord la difference des aires decoupees sur une sphere de rayon R par un angle polyedre convexe, dont toutes les aretes rencontrent la sphere, et dont le sommet, pour fixer les idees, est suppose exterieur a la sphere (fig. 2). Nous ferons le raisonnement dans le cas d'un angle a quatre faces; la theorie s'etend sans changement au cas d'un angle solide convexe quelconque.

Fig. 2.

L'expression a evaluer est la difference ABCD — abed; cherchons la variation que subit cette difference quand Tangle polyedre S se deplace d'une maniere quelconque dans l'espace.

Tout deplacement de cet angle peut s'obtenir : i° par une translation; 20 par une rotation autour d'un axe qu'on peut supposer passer par le centre de la sphere. Une telle rotation n'alterant pas les aires decoupees par Tangle polyedre sur la sphere, il suffit, pour etudierla variation de la difference de ces aires, de considerer le cas d'une translation infiniment petite de Tangle polyedre.

Soient e,, e2, e3, £/( les deplacements des faces AB, BC, CD, DA comptes normalement a ces faces; les aires decoupees sur la sphere deviennent A'B'C'D' et a'b'c'd'-, la figure convient au cas ou les faces

SUR QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES. ■'--[)

de Tangle polyedre se sont deplacees vers Tinterieur de cet angle. Joignons par des lignes quelconques les points voisins a et a',...; A et A', . . . ; appelons a2 l'aire ABCD, a, l'aire abed; on aura

rfff2 — dax = — [AA'B'B —aa'b' b]-.. ..

Or, AA'B'B est une portion de zone spherique, de hauteur En et, si p, est le rayon de la circonference a laquelle appartiennent les arcs ab et AB, on a evidemment

AA'B'B = 27tB£, , aa'b'b = 2 7iR£, >

27rp, 2 7rp,

d'ou

arcAB — area* AA'B B — aa b b = Rsi

Pi

r, . arcAB — arca6 , , , . , , ,

L expression — est egale, d apres le tneoreme sur la

mesure des angles plans, a Tangle a, des droites Aa et Bb, e'est-a-dire a une des faces de Tangle polyedre. On a done, aL>, a3, a4 etant les autres faces,

du2 — cht = ( — 2 Sj a, — 2£2a2 — 2£3a3 — 2£4a4)B.

Si le deplacement d'une des faces, telle que SAB, s'etait effectue vers Texterieur de Tangle polyedre, on aurait eu a remplacer dans cette formule — e, par e,, de sorte que Ton peut ecrire la formule

da2 — rfo-, = 2 B(£, a, + £2a2 + . . .),

en convenant de donner le signe -h aux deplacements diriges vers Texterieur de Tangle solide et le signe — aux deplacements diriges vers Tinterieur.

Si Ton suppose le sommet de Tangle situe a Tinterieur de la sphere, on aura une formule analogue, exprimant toujours la difference des aires decoupees par Tangle sur la sphere et non leur somme, comme on pourrait le penser, par analogie avec le Iheoreme de la mesure des angles plans; cette formule est

^ (c/o-j — da, ) — e, a, + £2a2 + . . . ,

en convenant de donner le signe -h aux deplacements diriges vers

l'exterieur de l'aire a2, et le signe — aux deplacements diriges vers Tinterienr de cette aire. Cette regie comprend la precedente si Ton ajoute que, dans le cas ou le sommet est exterieur a la sphere, <r2 designe la plus grande des deux aires.

Cela pose, observons qu'en nommant h,, h2, ... les distances des faces de Tangle au centre de la sphere, on a

si la face SAB, en se deplacant vers l'exterieur de l'aire ct2, s'eloigne du centre de la sphere, c'est-a-dire si le centre est situe, par rapport a cette face, du meme cote que l'aire a2, et qu'on a

Ei = — dhl

dans le cas contraire.

La formule peut done s'ecrire

^ ( d<j2 — dax ) = ± <xldhi±: a, dh2 ± . . . ,

avec la convention suivante :

On prendra le signe -h pour la face a si le centre de la sphere est, par rapport a cette face, du meme cote que l'aire a2; et le signe — dans le cas contraire.

On tire de la

— (<72 — <7[) =± a, ± <x2h2±. . . + const.

La constante est nulle, puisque, si le sommet de Tangle est au centre de la sphere, hn h2, ... sont nuls, et a2 egal a a, . II reste done

(i) ~(cri^-(T1)=±(Xlh1±:<Tihi±.. .,

les signes etant choisis comme il vient d'etre dit.

Nous avons ainsi I' expression de la difference des aires decoupees sur une sphere de rayon R par un angle polyedre dont toutes les aretes coupent reellement la sphere. Rappelons que, dans cette formule, a(, a2, ... sont les angles des faces et h,, h2, ... les distances de ces faces au centre de la sphere.

SUR QUELQUES PROPRIETIES DES AIRES SPHERIQUES.

3. Remarque. — II importc d'observer que, dans revaluation de la difference di.,— dv{, nous n'avons nullement suppose que les quatre aretes Aa, B/>, Cc, Dd concouraient en un meme point, mais seulement que chacune d'elles rencontrait la precedente et la suivante. On en conclut sans difficulty que la difference des aires decoupees sur la sphere par un solide ainsi defini est encore donnee par la formule

(i bis) -?5(<Ti — vi) = ±aihl±(xtht±...,

a, , A, , ... ayant la meme signification que plus haut.

4. Arrivons maintenant au cas oil Tangle polyedre considere deviendrait un cone.

Prenons le sommet de ce cone pour origine des coordonnees; soient a, b, c les coordonnees du centre de la sphere. II est clair d'abord que le double signe de la formule (i) devra disparaitre en raison de la continuity : les quantites ±a,A, deviennent en effet ±hd§, en designant par d§ Tangle d'une generatrice du cone avec la generatrice voisine, et par h la distance du centre de la sphere au plan tangent correspondant. Or, si Ton doit prendre le signe -h pour une generatrice, on aura egalement le signe -+- pour la suivante, et cela jusqu'au moment oil h sera nul, c'est-a-dire ou le plan tangent passera par le centre de la sphere, et, a partir de ce moment, d'apres la regie donnee plus haut, on devra prendre la distance de ce centre au plan tangent avec le signe — . Mais h est une fonction continue du parametre qui determine la generatrice, et cette fonction change generalement de signe en passant par zero; il en resulte que la formule definitive est

-^■(a2 — <7,)= J hdQ,

h etant exprime en fonction du parametre qui determine la generatrice correspondante.

Le calcul permet aisement d'evaluer hdO, et Ton trouve une expression sans radical.

On a en effet, /(a?, y, z) ~ o etant Tequation du cone,

CEUVRES Dli G. HUMBERT, T. I. 36

En designant para; -+- dx, y •+- dy, z ■+- dz un point du cone voisin du point (x, y, z), on a

fy? + fzz = °> fx dx + f'ydy + /I dz = o,

d'ou

, a[ y dz — z dy]-\- b[z dx — x dz ] -+- c [ x dy — y dx]

\J{ y dz — z dy)'1 -+- (z dx — x dz)2 -+- (x dy — y dx)*

Quant a d§, angle des directions x, y, z et x -+- dx, y -h dy, z 4- dz, il est donne par la formule connue

dO

\J {y dz — z dyy~h (z dx — x dz )2 4- ( x dy — ydx)*

yl

Done enfin

a( y dz — z dy ) + b(z dx — x dz ) -+- c(x dy — y dx) x2 + /* 4- z* 1

l'integrale etant prise le long du contour du cone. En posant

fydz — zdy -J xi+y+f*

' z dx — x dz

ft

x2 4- 4- a2 ' a; c?y — y eta;

ces integrates etant toujours prises le long du contour du cone, on aura

a2 — <7,= 2R[).a-Hpi6-|-vc], Si done on designe pur plan d' orientation du cone le plan

\x -\- [iy -\- vz — o,

dont la position, par rapport au cone, corame on le voit aisement, est independante du choix des axes de coordonnees, et par module du c6ne la quantite

V/ X* -i- /JL2 H- V2,

on arrive au resultat suivant :

Theoreme. — Soit un cone, de module p, rencontrant une sphere de

SUR QUELQUES PROPRIETIES DES AIRES SPHERIQUES. 283

rayon R suivant deux courbes fermees, et de telle sorte que toutes les generatrices reelles du cone coupent reellement la sphere; designons par d la distance du centre de la sphere au plan d"1 orientation du cone : la difference des deux aires que le cone decoupe sur la sphere est egale a i prW.

5. La remarque du n° 3 permet d'etendre ce theoreme aux surfaces developpables.

En effet, a la limite, la figure consideree dans cette remarque, formee de droites, telles que chacune d'elles rencontre la precedente et la suivante, devient une surface developpable.

Soit alors ux -+- vy -+- wz -+- p = o I'equation du plan tangent de cette developpable, u, v, w et p etant des fonctions d'un parametre on a

hHa au + bV + cw+pH()i

et, d'apres (i bis), la for mule quidonne la difference des aires decoupees par la developpable sur une sphere de centre (a, b, c) et de rayon R est

i r au -+- bv -+- cw + p — (ct2— =^-de,

l'integrale s'etendant a tout le contour de la developpable.

r. , • . , , C udB C vdQ C w d9

Or les lnteerales / => / — , I —

J v/«2+^-t-w2 J yu\+ »>*-+- VP* J \Ju2 + t>2 ■+- w2

sont egales aux integrales X, fx, v relatives au cone directeur de la developpable; il en resulte qu'on peut ecrire

. ^ (u2 — ct,) = la 4- {J-b + VC4-CJ,

et, par suite :

Si une developpable rencontre une sphere de rayon R suivant deux courbes ferme'es, et de telle sorte que toutes les generatrices reelles coupent reellement cette surface, la difference des deux aires quelle decoupe sur la sphere est egale a apJid, p designant le module du cone directeur de la developpable, et d la distance du centre de la sphere a un plan lie a la developpable et parallele au plan d 'orientation du cone directeur.

Ce plan peut etre appele plan d' orientation de la developpable.

6. Avant de faire quelques applications des resultats qui precedent,

nous ferons connaitre une autre methode pour revaluation de la difference des aires dans Ie cas du cone. Cette methode, qui nous a ete indiquee par M. Darboux, donne une definition geometrique simple du plan d'orientalion du cone; nous avons cru toutefois utile, malgre la simplicity de la nouvelle demonstration, de faire connaitre celle qui est exposee precedemment, parce qu'elle s'applique aux surfaces developpables et qu'elle donne, sous une forme plus commode et plus precise, la difference des aires decoupees par un angle polyedre.

Fig. 3.

Considerons {fig. 3) une sphere de rayon R et de centre 0, et un cone de sommetS : un pinceau conique tres petit, de sommet S et d'ouverture du>, decoupe sur la sphere deux aires du2 et da{. On a