II est facile de verifier directement les formules
En effet, I'expression ^ xdw = est la projection de I'element t/co,
de la sphere concentrique au cone, sur le plan des yz ; il*en rcsulte que
I'integrale J' ^ a xd™ ==> prise dans I'interieur du c6ne, represente
l'aire de la projection sur le plan des yz de l'une des aires decoupees par le cone sur la sphere concentrique de rayon un.
Or, si Ton designe par x, y, z les coordonnees d'un point du contour de l'aire spherique, la projection de cette aire sera representee par
I'integrale ~ ^ {ydz — zdy), prise le long de son contour, ou, si Ton veut, par I'integrale ^ J ^^~r^i' prise le long du contour du cone. Cette derniere integrale etant egale a ^ X, on a bien
k — 2 coX,
ce qu'il s'agissait d'etablir.
8. Nous allons faire maintenant quelques applications des formules qui viennent d'etre demontrees.
Observons, en premier lieu, que le theoreme fondamental sur la difference des aires spheriques decoupees par un c6ne, et sur revaluation de cette difference en fonction du module et du plan d'orientation du cone, s'applique non seulement aux cones algebriques ou aux cones transcendants ayant une equation determinee, mais encore a toute surface conique composee de portions de cones algebriques ou transcendants juxtaposes suivant les generatrices.
En particulier, un angle polyedre possede un plan d'orientation et un module, qu'on peut definir comme dans le cas general, soit analytiquement, soit geometriquement.
Cela etant entendu, on peut de la formule
cr2 — <7i — 2p Jid
deduire les consequences immediates suivantes :
Le lieu des centres des spheres de rayon constant sur lesquelles une surface conique fixe decoupe deux aires de difference donnee est un systeme
SUR QUELQUES PROPRIETES DE8 AIRES SPHERIQUES. 287
de deux plans paralleles au plan d'orientation du cdnc el symetriques par rapport a ce plan.
En particulier :
Les spheres sur lesquelles un cone fixe decoupe deux aires e gales sont celles qui ont leur centre dans le plan d 'orientation ducdne.
Remarquons que, si Ton fait tourner un coneautour d'une droite perpendiculaire a son plan d'orientation, ce plan, qui est lie invariablement au cone, ne fait que glisser sur lui-meme, et, en realite, il ne change pas de position dans l'espace : la distance d du centre de la sphere a ce plan demeure ainsi constante, et la formule fondamentale montre qu'il en est de meme de la difference cr2 — a,. On arrive done a ce theoreme curieux :
La difference des aires que decoupe un cone sur une sphere fixe reste constante quand on /ait tourner ce cone aulour d'une droite quelconque perpendiculaire a son plan d 'orientation .
La propriete de Tangle inscrit dans une circonference peut se generaliser dans l'espace comme il suit :
Un cone qui se deplace d'une maniere quelconque, de telle facon que son sommel reste sur une sphere et que son plan d'orientation demeure tangent a la sphere, decoupe sur cette surface une aire de grandeur constante.
La valeur de cette aire est donnee par la formule generale ou Ton fait d—K; elle est done egale a 2pR2, p etant toujours le module du cone.
On voit, en particulier, que les cones dont le module est egal a it decouperont ainsi une aire egale a la moitie de la surface totale de la sphere.
Plus generalement :
Un cone qui se deplace d'une maniere quelconque, de telle f agon que son sommel reste sur une sphere et que son plan d 'orientation demeure tangent a une sphere concentrique a la premiere, decoupe sur celle-ci une aire de grandeur constante.
La valeur de cette aire est 2p R2cos9, en appelant 0 Tangle constant sous lequel le plan d'orientation coupe la sphere primitive.
OEUVBES DE GEOBGES HUMBERT.
Dans tons ces enonces, on suppose toujours que toutes les generatrices reelles du cone coupent reellement la sphere.
9. Remarque. — Lorsque le somniet du cone est sur la sphere, la courbe commune peut etre une courbe fermee sans point double, ou une courbe composee de deux boucles avec un point double au sommet du cone : dans ce dernier cas, 1'aire d'une des boucles doit etre prise positivement, et celle de l'autrc negativement.
II peut se faire que la courbe commune a un cone et a une sphere que rencontrent toutes les generatrices reelles du cone se compose d'une seule boucle fermee : c'est ce qui se presente, par exemple, quand le cone est du troisieme ordre et que son sommet est interieur a la sphere. Les formules et les theoremes precedents s'appliquent alors a la difference des deux aires spheriques comprises l'une a I'interieur, l'autre a l'exterieur de cette boucle.
10. Nous n'insisterons pas plus longtemps sur les consequences immediates de la formule fondamentale, ni sur celles qu'on pourrait deduire de la formule etablie pour les surfaces developpables : nous y reviendrons plus loin, a l'occasion des surfaces reglees de nature quelconque ; mais, auparavant, nous donnerons quelques exemples de la determination du module et du plan d'orientalion d'une surface conique.
Triedre. — Soit un triedre ayant son sommet a l'origine des coordonnees; appelons a,, a2, a:) les angles des faces, et At, h2, h3 les distances de ces faces au centre d'une sphere de centre (a, Z>, c) et de rayon R. Si le point (a, b, c) est dans I'interieur du triedre, et si le sommet du triedre est exterieur a la sphere, on aura, pour la difference des aires decoupees.
D'apres la formule generale relative aux c6nes, on a aussi, en designant par p le module du triedre, et par d la distance du point (a, b, c) au plan d'orientation
(T2 — (7, = 2 p It d,
d'ou
SUR QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES. 280
Si l'equation de la face a, est
kix + B,y ■+- CjZ — o (t = i,2,3),
et si "k'x -+- \x'y -+■ v'z — o est l'equation du plan d'orientation du triedre, on aura done
2 A/a -f- ttib -+- C,c V a -+- \x' b -+- v' c "1 v/Af -t- BjTCf - p V^+^T^"'
d'ou Ton tire, puisque («, 6, c) est un point arbitraire,
At pV
^VA? + B? + Cf ~~ y^+^ + v'*'
et deux autres equations analogues.
En designant par lL, mL, nl les angles que fait avec les trois axes la normale a la face och et par p, q, r ceux que fait avec les axes la normale au plan d'orientation, ces equations peuvent s'ecrire :
^ a, cos /, + a2 cos /2 + a3cos/3 = pcosp, (E) <J a, cos nii + oc.2 cos «?2 + a3cos /», = p cos </,
[ at cos + a2 cos «.2 + a3cos n3 — p cos r.
Ces trois equations determinent cos/?, cos^, cosretp, e'est-a-dire le plan d'orientation et le module du triedre; en meme temps, elles mettent en evidence la construction geometrique suivante :
Par le sommet d'un triedre, clevons sur chacune des faces une normale dirigee vers I'exterieur da triedre, et porlons sur cette normale, a partir du sommet, une longueur egale a Vangle de la face; si Von compose comme des forces les trois longueurs ainsi deftnies, la resultante obtenue est egale au module du triedre et perpendiculaire a son plan d * orientation.
Nous avons appele exterieur du triedre par rapport a une face la portion de 1'espace qui n'est pas situee du meme cote de cette face que l'arete opposee.
Le module du triedre petit se calculer aisement en fonclion des angles des faces.
Ajoutons, en effet, membre a membre, les equations (E) elevees au
CEUVRES DE G. HUMBERT, T. I. 37
carre; il vient
p«=«? + a» + ai
4- 2 «■) a2 (cos /, cos /2 + cos m, cos m2 + cos «i cos ns) +. . . .
Or, si Ton designe par Al2 Tangle du triedre compris entre les faces a, et a2, on a
— cos A|2 == cos li cos /2 -+- cos m, cos m2 + cos n% cos «2,
d'ou
( — 2a, a2 cosA|2 — 2a,a3cosA13 — 2a2cc3cosA23.
Cette formule donne le module du triedre en fonction des faces a,, a2, a3 du triedre et des angles A,2, A)3, A23 qu'elles comprennent; on peut, si Ton veut, exprimer tout en fonction de a,, a2, a3 par les formules
cos a3= cos oil cos a2+ sin a{ sin a2 cos A12,
11. Exemples. — i° Pour un triedre trirectangle, le plan d'orientation est normal a la droite qui est l'intersection des plans bissecteurs des trois triedres, et que, pour abreger, nous appellerons axe du triedre; le module est donne par la formule (3), ou
otj — ot2 ; — cc3 ~ Ai2
on a ainsi
On peut maintenant appliquer a ce cas particulier la formule generale; nous nous contenterons d'enoncer le resultat suivant :
Un triedre trirectangle dont le sommet est sur une sphere de rayon R , et dont Vaxc passe par le centre de la sphere, decoupe sur cette surface une
aire egale a tc
Cette aire est done incommensurable avec celle de la sphere.
20 Pour un triedre ayant ses trois faces egales, le plan d'orientation est encore normal a Yaxe, le moiaxe ayant la mome signification que tout a rheiire; appelons a Tangle commun des faces, A Tangle diedre
SUR QUELQUES PROPRIETIES DES AIRES SPIIliRIQUES. 2{) 1
compris entre deux faces, on a
p — a^/3 — 6 cos A.
Si a = ^> le triedre est I'ande solide d'un tetraedre re^ulier et 3 ° 5
cos A = ;
par suite,
De la cette consequence intercssante :
Si un triidre, dont les faces sont de 6o°, a son sommet sur une sphere, et si son axe passe par le centre, il decoupe sur la sphere une aire e'gale au sixieme de Caire totale de cette surface.
12. II serait aise de multiplier ces exemples; mais nous preferons, pour ne pas lasser l'attention du lecteur, arriver a une application plus importante de nos formules.
Nous allons montrer qu'elles permettent de determiner, sur la sphere, la valeur d'une aire quelconque limite'e par des arcs de pelits cercles.
Designons, en effet, par P le polygone qui limite cette aire; si nous faisons passer un grand cercle par deux sommets consecutifs du polygone, nous obtenons un nouveau polygone V, limite par des arcs de grand cercle dont on sait calculer 1'aire, et, pour deduire l'aire de P de celle de P', il suffira de savoir evaluer la surface de la lunule comprise entre un grand cercle et un petit cercle.
Or c'est la une application immediate de la formule qui donne l'aire decoupee sur une sphere par un triedre dont le sommet est sur cette surface; car le triedre dont le sommet est a l'une des extremites de la lunule, et dont les aretes sont la corde de cette lunule, la tangente au grand cercle et la tangente au petit cercle, decoupe precisement sur la sphere l'aire de la lunule.
Si done on appelle :
a Tangle de la tangente au grand cercle et de la tangente au petit cercle a l'une des extremites de la lunule, ces tangentes etant supposees dirigees vers la lunule;
(3 Tangle de la tangente considcree au petit cercle et de la corde de la lunule, cctte corde etant supposee dirigee vers la seconde extremite de la lunule;
h la distance du centre de la sphere au plan du petit cercle;
Taire a de la lunule sera, d'apres (i),
a =aR[R«±A(3].
On prendra le signe +■ si le centre de la sphere est, par rapport au plan du petit cercle, du meme cote que la lunule, et le signe — dans le cas contraire.
On peut donner une formule tout a fait pareille pour V aire a de la lunule comprise entre deux pedis cercles B et C. Si Ton appelle :
a Tangle des tangenles aux deux cercles a Tune des extremites de la
lunule, ces tangentes etant dirigees vers la lunule; (3 Tangle de la tangente consideree au petit cercle B et de la corde de la
lunule ;
y Tangle analogue de la tangente au cercle G et de la corde de la lunule ;
h et k les distances du centre de la sphere aux plans des cercles B et C : on aura
a = 2R[Ra±/i(3±A-)/].
On prendra le signe -h devant h (ou/f) si le centre de la sphere est, par rapport au plan du cercle B (ou C), du meme cote que la lunule, et le signe — dans le cas contraire.
13. Angle polyedre. — On a, pour determiner le plan d'orientation et le module d'un angle polyedre convexe quelconque, des formules analogues a celles qu'on a etablies pour le triedrc, et en particulier une construction geometrique de ces deux elements identique a celle du n° 10.
14. Cone du second ordrc. — II est clair que, pour un cone du second ordre, le plan d'orientation est le plan mene par le sommet normalement a Taxe de symetrie interieur ou principal, car une sphere avant
SUR QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES. 2f)3
son centre dans ce plan est coupee par Ie cone suivant deux courbes fermees symetriques l'une de l'autre, et comprenant des aires egales.
Cela pose, supposons que le cone soit rapporte a son sommet et a ses axes, l'axe principal etant celui des s, son equation sera
A-r2+Bj2 — C3! = o,
A, B, C etant positifs.
Le plan d'orientation etant le plan des xy, les integrales que nous avons appclees \ et [/. au n° 4 seront nulles, et le module p du cone est egal a la valeur absolue de 1'integrale
/x dy — y dx r
prise le long du contour du cone. Si Ton pose ^ = tangcp et si Ton remplace z- par sa valeur tiree de l'equation du cone, il vient
Cdy
J C 4- A cos2cp -+- B sin- o=>
ou
Ja (A + C)cos2<p-t-(B + C)sin2cp' et, d'apres une formule connue ('),
^(A + CJCB + C)
Si maintenant on appelle a et (U les angles que fait l'axe principal avec les generatrices du cone situees dans les plans principaux qui passent par cet axe, il vient
sin oc = — ? sin p -
et, par suite,
p = 271 sin a sin (3.
D'apres cela, la difference des deux aires que decoupe le cOne considere sur une sphere de rayon R que rencontrent toutes ses genera-
(') Voir, par exemple, le Cours d 'Analyse de M. Hermite, p. 396.
trices reelles a pour valeur 4^ sin a sin (J, d etant la distance du centre de la sphere an plan principal normal a l'axe interieur du cone.
15. Quadriques. — On peut faire une application de ces resultats a revaluation de la difference des aires decoupees sur une sphere par une surface du second ordre, qui rencontre la sphere suivant deux courbes fermees.
Soient
+ z1— FT=o
et
F = Mx2-+- Ny2 +P:2+ 2 mx -+- my + ipz + g = 0
les equations de la sphere et de la quadrique F, les axes de coordonnees etant paralleles a ceux de F.
Si F coupe la sphere suivant deux courbes fermees, il est clair que l'un des deux cones reels qui passent par Intersection des deux surfaces aura son centre a l'interieur de la sphere. Les axes de ce cone sont d'ailleurs paralleles a ceux de F; nous supposerons que son axe interieur est parallele a Os.
Cela pose, l'equation du cone est de la forme
0 etant une constante convenablement choisie; son sommet est a une distance d du plan xOy donnee par la relation
c'est-a-dire
Quant au module p du cone, il s'obtient en calculant, d'apres la formule donnee plus haut, le module du cone qui lui est parallele et dont le sommet est a l'origine; ce dernier cone ayant pour equation
M^+N7!+PiJ + fi(^! + jJ + ;i) =o,
on aura
p = mod 2 7T-, — •
La difference des deux aires decoupees sur la sphere par la quadrique F, ou, ce qui revient au meme, par le cone considere, sera done,
SUR QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES. 20^
d'apres la formule generate,
mod p
(4) C2 — O"! == 2 p IW= 27:R
Cette formule met en evidence plusieurs proprietes curieuses des surfaces du second ordre.
Si on la met sous la forme
oj — a-, = mod 271R
on voit que la difference des deux aires decoupees par une quadrique sur une sphere est egale au produit du rayon de la sphere par la distance de son centre a Vun des plans principaux de la quadrique, le tout etant multiplies par un coefficient numerique, ou module, qui ne depend que de la forme de la surface du second ordre, et nullement de sa position dans l'espace.
C'est done une relation tout a fait analogue a celle qu'on a trouvee dans le cas des surfaces coniques; seulement, ici se presente cette circonstance remarquable que les quadriques n'ont pas seulement un, mais deux modules, le module a choisir pour l'application de la formule dependant des positions respectives de la sphere et de la quadrique.
Pour mettre ce fait en lumiere, supposons par exemple que ,1a quadrique soit un ellipsoide : M, N et P sont alors positifs.
Le cone ayant. pour sommet l'origine qui est parallele au cone passant par l'intersection de l'ellipsoide et de la sphere, et dont le sommet est interieur a la sphere, a pour equation
(M -t-0)o-2 + (N + 8)yt + {V + 9)zi = o.
Nous avons suppose que l'axe principal de ce cone etait 0^; on a done
ou
ce qui exige que P soit plus grand que M et N ou plus petit que ces deux quantites; en d'autres termes, l'axe de l'ellipsoide dirige sui-, vant Oz sera le plus grand ou le plus petit axe de la surface.
Ce resultat peut encore s'enoncer ainsi :
L'axe principal du cone qui passe par ['intersection d'un ellipsoide et d'une sphere, et dont le sommet est interieur a la sphere, est parallele soit au grand axe, soit au petit axe de Tellipsoide.
Imaginons qu'il soit d'abord parallele au grand axe, et designons par a, b, c [a > b > c] les trois demi-axes de 1'ellipsoide ; P sera alors inferieur a M et N, et Ton aura
Le plan principal de 1'ellipsoide dont la distance au centre de la sphere intervient dans la formule (4) est le plan du petit et du moyen axe ; le module correspondant a pour valeur
