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Si, au contraire, l'axe principal du cone considere plus haut est parallele au petit axe de 1'ellipsoide, le plan principal de cet ellipsoide, dont la distance au centre de la sphere intervient dans la formule, est celui du grand et du moyen axe; le module correspondant a pour valeur
\/(tf2 c2)(&2 c2)
On aurait des resultats analogues pour rhyperboloide a une nappe ou l'hyperboloide a deux nappes.
16. Toute cette discussion peut se resumer dans les termes suivants :
Soit Mx2 + Ny2 + P22 = K r equation d'une quadriquc rapportec a son centre et a ses axes; appelons module correspondant au plan principal z — 0 la valeur absolue de la quantite
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SUR QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHEIIIQUES. 2C)J
et modules correspondant aux autres plans principaux les quantites analogues obtenues en per mutant M, N et P. Deux de ces modules sont reels, le troisieme est imaginaire.
Cela pose, admettons que la quadrique coupe une sphere de rayon R suivanl deux courbes fermees; le cone du second ordre qui passe par cet/e intersection, et dont le sommet est inlerieur a la sphere, a son axe interieur normal a Vun des plans principaux de la quadrique ; soit II ce plan.
La difference des deux aires decoupees par la quadrique sur la sphere est e'gale a 2Rp^, p designant le module correspondant au plan II, et d la distance du centre de la sphere a ce plan ( ' ).
Cette formule n'introduit jamais celui des modules qui est imaginaire, parce que le plan II ne peut pas coincider avec le plan principal correspondant a ce module, si Ton suppose que la quadrique coupe la sphere suivant deux courbes fermees.
De la resulte immediatcment cette consequence :
La difference des deux aires que decoupe une quadrique sur une sphere ne varie pas quand on fait tourner la quadrique autouv eTUN de ses axes, ou de toute autre droite parallele a cet axe.
L'axe dont il s'agit est celui qui est normal au plan II defini plus haut. Si Ton remarque que les modules de la quadrique ne dependent que
des rapports p et p, on voit egalement que :
L,a difference des deux aires que decoupe une quadrique sur une sphere ne varie pas quand la quadrique se deforme en restant concenlrique el homolhelique a elle-meme;
ou, si Ton veut :
Les deux aires annulaires decoupees sur une sphere par le solide compris entre deux quadriques homothetiques et concentriques sont e'gales.
17. Dans le cas ou la quadrique est de revolution, il est aise de voir,
(!) II est a remarquer que ce theoreme s'applique a la difference des deux aires decoupees sur une sphere par un cone du second ordre, mdme quand toutes les generatrices reelles du cone ne rencontrent pas la spliere. II suffit que l'intersection se compose de deux bOucles fermees.
d'apres ce qui precede, que le plan n est toujours normal a l'axe de revolution ; si cet axe est l'axe des z, on aura
et le module correspondant sera
18. Paraboloide. — Ces resultats s'appliquent aux paraboloides, mais avec une modification importante dans le cas ou, le paraboloide etant elliptique, le plan II est normal a Taxe de cette surface.
Soient, en effet,
£*+ y*-hz* — R2=o
F = M x2 ■+■ Ny5 -+- 2 mx ■+■ 2 ny 2 pz -t- q = o
les equations d'une sphere et d'un paraboloide, dont l'axe est parallele a l'axe des z.
Supposons que le paraboloide coupe la sphere suivant deux courbes fermees, et que le cone qui passe par ces courbes, etdontle sommet est interieur a la sphere, ait son axe principal parallele a l'axe du paraboloide; on aura alors, pour la difference des deux aires decoupees sur la sphere,
(5) or,, - er, = 2 itRi
en faisant simplement P = o dans la formule (4) (').
II resulte de la que, si Ton imprime au paraboloide une translation quelconques la difference a2 — a, reste constante, car les coefficients M, N et p ne varient pas quand on remplace x, y, z par x + h,y -\- k, z -hi dans 1'equation du paraboloide.
Comme on peut egalement, sans changer a2 et a,, faire tourner le paraboloide autour d'un diametre de la sphere, on voit que la difference cr2 — or, rcstera invariable pour tout deplacement du paraboloide dans l'espace.
(') Cette formule montre quo M et N doivent fetre de mfime signe, c"est-a-dire que le paraboloide est elliptique.
SUR QTJELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES. 2QG,
On peut done enoncer le thcoreme suivant :
Soil un paraboloide elliptique coupant une sphere suivant deux courbes fermees; le cone du second ordre qui passe par ces courbes, el donl le sommet est interieur a la sphere, a son axe interieur parallele a I' une des directions principales du paraboloide : supposons-le parallele a l'axe de cette surface.
La difference des deux aires que decoupe le paraboloide sur la sphere rcsle conslante quand le paraboloide se deplace d'une maniere quelconque dans Vespace, la condition precedente e'tant toujours supposee remplie.
Si, au contraire, l'axe interieur du cone dont il vient d'etre question etait normal a l'axe du paraboloide, la difference des deux aires aurait la meme expression que dans le cas des quadriques a centre.
Si le paraboloide est de revolution, le cone dont il s'agit a toujours son axe interieur parallele a celui de la surface; le theoreme s'enonce alors plus simplement et d'une maniere tout a fait generate :
La difference des deux aires que decoupe sur une sphere un paraboloide de revolution est independante des positions respeclives des deux surfaces dans I'espace.
D'apres la formule (5), elle est egale a 4^Rw, ©designantle parametre de la parabole meridienne.
Le paraboloide elliptique nous presente ainsi le premier exemple d'une surface pouvant decouper sur une sphere deux aires dont la difference ne depend que de la forme des deux surfaces : e'est une generalisation directe de la propriete de Tangle plan et de la circonference; nous indiquerons, a la fin de ce travail, une infinite d'autres generalisations de meme nature, mais le paraboloide est la surface la plus simple a laquelle s'appliquent ces extensions si curieuses.
19. Pinceaux de droites. — Nous terminerons ce Memoire en etendant aux surfaces regiees la propriete etablie pour le cone et pour les surfaces developpables ; quelques remarques relatives aux aires decoupees par un pinceau de droites sur un plan et sur une sphere serviront de base a cette extension.
Soit do) l'airo infiniment petite que decoupe un pinceau de droites sur un plan normal a l'axe du pinceau en un point M : il est clair que
3oO OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
l'aire da decoupee sur un plan passant par M et faisant avec le premier un angle 0 sera donnee par la formule
rfw = da cos 9,
car l'aire c?w peut etre consideree comme la projection de l'aire da.
Cela pose, cherchons comment varie l'aire decoupee par le pinceau sur un plan qui se deplace en restant parallele a lui-meme.
Soient
x — ccz -+- p,
les equations d'une droite : si Ton imagine que a et (3 soient fonctions de p et q, et si Ton donne a p et q des valeurs voisines de deux quantites p0 et q0, on obtient, par les equations precedentes, une infinite de droites appartenant a un pinceau infiniment delie.
L'aire decoupee par ce pinceau sur un plan z = const, sera
d*=moA{%%-Jt%)dPd<l>
x et j etant des fonctions de p et q definies par les equations (6), ou z est une constante. On a ainsi
da' - mod ( As2 -+- B z + i ) dp dq,
etant pose
dp dq dq dp ~Z dp dq
Ces formules permettent d'evaluer l'aire decoupee par le pinceau sur un plan quelconque P.
Soient en effet :
z l'ordonnee du point M ou le plan P rencontre l'axe du pinceau; 0 Tangle de la normale a ce plan avec l'axe du pinceau; 6' Tangle de ce meme axe avec 0 z ;
da et da' les aires decoupees par le pinceau sur le plan P et sur le plan horizontal mene par M.
On a
da cos B = da' cos 8',
car chacun des deux membres est egal a l'aire decoupee par le pinceau sur le plan normal a son axe au point M.
SUR QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQOES. 3oi
On en conclut
da= C°S ^ mod (A-2+ Bi + i) dp da.
cos 0
On sait que toutes Ies droites du pinceau rcnconlrent deux memes droites; si le plan secant passe par Tun des points oil ces droites coupent l'axe du pinceau, l'aire decoupee sur ce plan est nulle; on voit ainsi que les deux racines de Tequation As2+B^h-i = o sont les ordonnees des deux points focaux du pinceau.
