Cela pose, sur une sphere de rayon R
xi + y2 + z"' — 2 ax — 2 by — a cz -4- k = o.
Proposons-nous de calculer les deux aires que le pinceau (6) decoupe sur cette surface : on peut evidemment substituer a la sphere son plan tangent en chacun des points M, et M, ou elle est rencontree par l'axe du pinceau.
Si done on designe par 0 Tangle que fait l'axe du pinceau avec chacun des deux rayons de la sphere qui aboutissent aux points M, et M2 ; par 0' Tangle de ce meme axe avec 0 z ; par z, et z2 les ordonnees de M, et M2, on aura
cos 9' " da.= mod (Az1. -+- B^,+ i)dp dq,
cos d 1 ■ '
cos 61
da2= g mod (A.z\ + Br2+i)rf/) dq.
Deux cas sont maintenant a distinguer.
Si les deux points focaux du pinceau sont tous deux a Tinterieur, ou tous deux a Texterieur de la sphere, les trinomes Az\-\- Bs, -+- i et kz\ -f- Bz., + i sont de meme signe, et Ton a
cos 6'
da2— da-i= -^tq m°d [A(^^ — z^) -+- B(s2 — dp dq.
Si au contraire les deux points focaux sont Tun a Tinterieur, I'autre a Texterieur de la sphere, on aura
cos 6f
rf(j24- d<jt = g mod [A(z^ — z\ ) -+- B {zt — zx)] dp dq.
Or on peut ecrire
cos
2 R 2 R cos 6' et, par suite,
rf<rs ±rfa,= 2R cos2 9' mod [k{zl ~ Z}] ^ B (g* ~ ~' } j tfp c'est-a-dire
da2± ^(7,= — mod[A(s,-+- «,) + B] o^rfy.
ot -+■ p ■+■ i
En cherchant les z des points d'intersection de la droite
x—az+p, y=fiz + q
avec la sphere, on trouve
2(aa + 6(3 -+- c — ap — fiq)
done enfin
rf^i^rz ^ V* + ^ ■ [ A(aa + 6(3 + c a/? — ft g) + B («« + ft' + 1)] <p ;
en prenant la valeur absolue du second membre.
Cette formule peut etre interpreted geometriquement d'une maniere tres simple.
Le plan mene normalement a l'axe du pinceau par le milieu du segment que determinent les deux points focaux a pour equation
— aC -/?■) + (3(7 — |3? — q) + z — ? = o,
'( designant l'ordonnee de ce point milieu ; or, d'apres ce qui a ete dit, on a
et l'equation du plan devient
Acer + B (3y + kz — A(a/> + ft q) + B(«2 + ft2 + i) r= o.
La distance o du centre de la sphere a ce plan est done
3 k(aa + b$ + c — qp — ft7) + B(a2-4- ft2 + i) ™ Ay/a2 + ft2 + i
et, par suite,
da2 ± do = Adpdq.
(a! + ft2+i)^
SUR QUELQUES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES. 3o3
Or, si Ton fait un changement de variables en prenant pour variables independantes a et [3 a la place de p et q, il faut remplacer dans cette formule kdpdq par dadfi, puisque A est le jacobien de a et (3, considered comme fonctions de p et q. II vient done
da2 ± diY = da dp .
La quantite da d^ — 3 a une signification geometrique simple; elle
represente l'aire decoupee sur une sphere de rayon un par le faisceau des droites menees du centre de la sphere parallelement aux droites du pinceau.
Designons par - cette aire, qu'on peut appeler Vowerture du pinceau, on a finalement
da2 ± da i = 2 R <5co .
On peut done enoncer ce theoreme :
La somme algebrique des deux aires decoupees sur une sphere par un pinceau de droites est egale au double produit du rayon de la sphere par I'ouverture du pinceau et par la distance du centre de la sphere au plan de symetrie des deux points focaux du pinceau.
Ce plan est toujours reel, meme si les points focaux sont imaginaires.
La somme algebrique dont il s'agit sera la difference des deux aires si les points focaux sont simultanement a l'interieur ou a l'exterieur de la sphere; ce sera la somme des aires si l'un seulement des points focaux est interieur a la sphere.
21. Le resultat qui precede devient illusoire si co est nul, e'est-a-dire si les droites du pinceau sont paralleles a un meme plan : en ce cas, un des points focaux est a l'infini, A est nul, et le raisonnement n'est plus applicable.
Supposons done que Asoit nul; la formule qui donne l'aire decoupee par le pinceau sur un plan sera
, cos 9' , .
da — K (B* + i)«Pa?
