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et la somme algebrique des deux aires d6coupees sur une sphere

3o4 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.

devient

On prendra le signe -+- si le point focal a distance finie est interieur a la sphere, et le signe — s'il est exterieur.

Cette formule ne renferme que le rayon de la sphere et ne contient pas les coordonnees du centre. Ainsi :

La somme algebrique des deux aires decoupees sur une sphere par un pinceau de droites, toutes paralleles a un meme plan, est egale au produit du rayon de la sphere par un coefficient constant, qui ne depend que de la nature du pinceau. Cette somme reste done constante quand le pinceau se deplace dans Vespace d^une maniere quelconque.

La somme algebrique qui intervient dans ce theoreme est la difference des deux aires, si le point focal du pinceau situe a une distance finie se trouve a I'exterieur de la sphere; elle est la somme des deux aires dans le cas contraire.

22. On peut, en s'appuyant sur ces propositions, demontrer quelques resultats simples relatifs aux surfaces reglees.

En raison de la variete des formes que peuvent presenter ces surfaces, il ne parait pas possible d'enoncer des theoremes generaux sur la somme ou la difference des aires que decoupe une telle surface sur une sphere; nous nous bornerons, dans ce qui suit, a traiter quelques cas speciaux, tres etendus d'ailleurs, qui offrent de l'interet par euxmemes, et dont la discussion montrera comment la question peut etre abordee dans chaque exemple particulier.

23. Surfaces reglees a plan directeur. — Considerons, pour commencer, une surface S, a plan directeur et a deux directrices, dont l'une est une droite D et l'autre une courbe plane C, situee dans un plan paralleleaD; on peut toujours supposer que cette courbe n'a pas de point double; sinon, on la decomposerait en deux ou plusieurs courbes fermees, sans point double.

La surface 2 est un conoide, compose de deux nappes, qui se croisent le long de la directrice D; pour distinguer ces nappes, nous appelle-

SUtl QUELQTJES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES.

rons nappe anterieure celle qui est decrite par Ies generatrices rectilignes, prolongees a partir de !a droite D, du cote de la courbe C, et nappe posterieure celle qui est decrite par les generatrices prolongees dans 1'autre sens.

Remarquons maintenant que le solide compris a l'interieur du conoide 2 peut etre decompose en elements de volume infiniment petits par des plans paralleles au plan directeur et des plans passant par la droite D : deux couples de ces plans, deux a deux infiniment voisins, limitent une sorte de coin infiniment delie; les coins ainsi obtenus remplissent une et une seule fois l'interieur du conoide, car ils n'empietent pas les uns sur les autres. Pour evaluer l'aire decoupee par le conoide sur une surface, il suffit done de faire la somme des aires decoupees par les tranches elementaires.

Or chacune de ces tranches peut etre consideree comme un pinceau de droites, toutes paralleles au plan directeur, et dont le point focal a distance finie est sur la droite D; la somme algebrique des aires decoupees par ce pinceau sur une sphere est, comme on l'a vu, egale a Rota, dus etant un coefficient infiniment petit, independant de la position de la sphere; il en resulte que la somme algebrique des aires

decoupees sur la sphere par le conoide est egale a R dus, et qu'elle

ne depend par consequent pas des positions respectives de la sphere et du conoide, pourvu, bien entendu, que toutes les generatrices reelles de la secondc surface rencontrent reellement la premiere.

Pour determiner le signe a attribuer aux aires spheriques, il suffit d'appliquer a chacune des tranches elementaires la regie qui a ete donnee plus haut : soient alors A et B deux courbes fermees suivant lesquelles le conoide coupe la sphere; admettons pour plus de generalite que chacune de ces courbes soit tracee en partie sur la nappe anterieure et en partie sur la nappe posterieure du cone. On donnerale signe -h aux aires qui correspondent aux portions de A situees sur la nappe anterieure, le signe — a celles qui correspondent aux portions de A sur la nappe posterieure, et, pour la courbe B, on prendra les signes inverses.

Si, par exemple, les courbes A et B sont situees sur une raeme nappe du conoide, e'est la difference des aires qui intervient; e'est la somme si A et B sont sur deux nappes differentes.

CEUVRES DE O. HUMBERT, T. I.