On peut enoncer maintenant le theoreme suivant
La somme algebrique des aires decoupe'es sur une sphere par un conoide dont toutesles generatrices reelles rencontrent la sphere est egale au produit du rayon par un coefficient qui ne depend que de la forme du conoide.
Cette somme reste done conslante quand la sphere se deplace d'une maniere quelconque dans Vespace, sans cesser de rencontrer toutes les generatrices reelles de la surface reglee.
Ce theoreme s applique non seulement aux conoides, mais a toutes les surfaces reglees a plan directeur, ou a toutes les portions continues de ces surfaces, qui nadmetlent qu'une settle directrice multiple, parce que, dans ce cas, on peut toujours decomposer le solide interieur a la surface en coins infiniment delies, ayant leurs sommets sur la directrice multiple, et n'empietant pas les uns sur les autres, ainsi qu'on l'a fait dans le cas du conoide.
Nous avons ainsi une infinite de surfaces, jouissant par rapport a la sphere de la meme propriete que Tangle plan par rapport a la circonference; a ces surfaces, il convient d'ajouter, comme on l'a vu plus haut, le parabolo'ide elliptique, qui est d'ailleurs une surface reglee a plan directeur, mais a generatrices imaginaires.
Comme exemple de surfaces auxquelles le theoreme precedent s'applique simplement, on doit citer le conoide droit connu sous le nom de coin de Wallis;\& determination du signe a donner aux aires spheriques se fait en ce cas sans aucune difficulte.
25. Surf aces reglees . — La formule generale donnee au n° 20 pour les pinceaux de droites peut etre appliquee eomme il suit aux surfaces reglees.
Soit, par exemple, une surface 2 reglee, definie par deux directrices rectilignes, D, et D2, et une troisieme directrice plane, C, fermee et sans point double. Decomposons l'aire comprise a Tinterieur de C en elements infiniment petits, n'empietant pas les uns sur les autres, et considerons le pinceau des droites qui s'appuient sur D4, D2 et rencontrent le plan de C a Tinterieur de Tun des elements : il est clair que les pinceaux ainsi oblenus rempliront Tinterieur du solide compris dans la surface 2, et n'empieteront pas les uns sur les autres. Pour
SUR QUEEQUES PROPRJETES DES AIRES SPHERIQUES. 3c>7
calculer la difference des aires decoupees par 2 sur une sphere, il suffit done de faire la somme des differences analogues pour les pinceaux introduits, et d'appliquer a cet effet les formules du n° 20, en observant que les points focaux de l'un quelconque des pinceaux sont sur D etD(.
La somme algebrique des aires decoupees par un pinceau sur une sphere de centre a, b, c et de rayon R est de la forme
dds± dil — 2R(l'a -+■ }J-' b -+- v' c -+- m')dw',
X, \k' , v', tb' et doi' etant des coefficients qui dependent seulement de la nature du pinceau; il resultede la que la somme algebrique des aires decoupees sur la sphere par 2 sera de la meme forme
ir,±a, = 2R(k -i- -h vc tb),
\, p., v, gt etant des coefficients qui dependent des elements definissant la surface 2.
Cette expression est analogue a celle qui a ete trouvee dans le cas des cones et des surfaces developpables; on peut 1'ecrire, en posant
p = \/^2-t- P-2-H v2, cr2 ± an = 2 R p d,
formule ou d designe la distance du centre de la sphere au plan
Ix + jjlj 4- vz ■+- m — o,
qu'on peut appeler plan d' orientation de la surface regime; nous appellerons de meme la constante p module de la surface.
On peut demontrer que le module de la surface reglee est generalement egal a celui du cone directeur, et que son plan d'orientation est parallele a celui de ce cdne.
Reprenons a cet effet les formules du n° 20, en supposant que le plan de la courbe directrice C soit celui des xy. On a, pour la somme algebrique des aires decoupees sur une sphere de rayon R et de centre a, b, c par le pinceau des droites infiniment voisines de la droite
x — az + J9, y = $z-\-q,
la formule
d^±d<Jx = [A(a<X + bp + c-ccp-Pq)+P(«>+p+1)ldpdq,
d'ou
2A(aa+ bfi + c — <xp — (3g) 4- aB(oe2+ (32 + i)
1'integrale etant prise a l'interieur de la courbe C. On a done
2 Act
dpdq.
Si Ton prend comme variables a et [3 a la place de /? et de on aura,
pu.squeAestegala^
les integrates etant prises cette fois a l'interieur du cone directeur de la surface reglee, puisque, si le point p, q est sur la courbe C, le point a, (3, 1 est un point du cone forme par les paralleles qu'on peut mener de l'origine aux generatrices de la surface.
Les variables p et q ont ainsi disparu ; il en resulte que les quantites \, p. et v ont les memes valeurs pour toutes les surfaces reglees qui ont meme cone directeur, et en particulier qu'elles ont, pour une de ces surfaces, les memes valeurs que pour le cone directeur, ce qui demontre la proposition a etablir. On peut d'ailleurs la verifier directement comme il suit.
L'expression cl<*d$ esj. ['a|re infinimentpetite </co,que decoupe
un pinceau conique ayant pour axe la direction a, [3, 1, et compris a l'interieur du cone directeur, sur une sphere concentrique de rayon un ; on a, d'apres cela, en designant par oc,y, z les cordonnees d'un
SUR QUELQTJES PROPRIETES DES AIRES SPHERIQUES. 3oO,
point de cette sphere,
sJX1 + yl |
les integrates etant prises a l'intericur du cone directeur : ce sont pre-
cisemcnt les formules etablies aux nos 6 et 7 dans ie cas du cone,
