QUELQUES-UNES DE SES APPLICATIONS GEOMETRIQUES
(Journal de Math.. 4e serie, t. Ill, 1887)
1. Le but de ce Memoire est de demontrer une formule qui permet, etant donnees une courbe algebrique /= o, de degre n, et une integrate abelienne quelconque appartenant a cette courbe, de calculer aprioriXz. sorarae des variations de l'integrale sur les lignes decrites par les points d'intersectionde la courbe proposeeetd'une courbe algebrique variable, appartenant a un faisceau. Si Ton d6signe par F — utp = o l'equation des courbes de ce faisceau, la somme cherchee sera une fonction du parametre u, et l'etude de ses variations, quand on fait varier le parametre, donne lieu a des consequences analytiques interessantes, se traduisant geometriquement d'une maniere souvent tres simple.
L'emploi des fonctions fuchsiennes, introduites dans la Science par M.Poincare, nous a permis d'arriver simplement au resultat cherche.
La premiere Partie du present travail est consacree a la demonstration et a l'etude des consequences analytiques de la formule fondamentale ; on examine specialement le cas oil l'integrale abelienne se reduit a une fonction rationnelle, et Ton en deduit le moyen de trouver la somme ou le produit des valeurs que prend une fonction rationnelle des coordonnees aux points c'ommuns a deux courbes algebriques, et de discuter cette somme ou ce produit quand une des courbes varie, sans cesser d'appartenir a un meme faisceau.
La seconde Partie comprend les applications geometriques les plus
simples de cettc theorie : en considerant, soit une integrale abelienne ayant une signification geometrique determines soit une fonction rationnelle simple des coordonnees des points d'une courbe, on peut enoncer immediatement des theoremes geometriques, relatifs a la somme des valeurs que prennent cette integrale et cette fonction aux points communs a la courbe proposee, et a chaeune des courbes d'un faisceau. On a developp'e specialement des applications relatives aux aires, aux directions et aux longueurs.
La troisieme Partie a pour but de faire les memes applications aux arcs de courbe qui s'expriment par une integrale abelienne appartenant a la courbe : les courbes qui jouissent de cette propriete sont celles que Laguerre a nominees courbes de direction.
Comme consequence de cette theorie, on determine les courbes curieuses dont l'arc s'exprime par une integrale abelienne de premiere espece ; elles jouissent de cette propriete que la somme des arcs intercepts sur elles par deux courbes quelconques de meme degre est toujours nulle.
