PREMIERE PARTIE

Enonce du probleme.

2. Soit / Yj) = o l'equation d'une courbe algebrique plane de genre p et de degre n ; considerons une integrale abelienne quelconque appartenant a cette courbe

oil Q et R designent respectivement des polynomes de degres q et r Coupons la courbe /== o par deux courbes de degre m

u0 et u designant deux constantes; et soient

to to to . t t t

SUR LE THEOKEME d'aUEL .

les abscisses qui correspondent respectivement aux points d'intersection de ces courbes avec la courbe primitive. On sait que l'expression

i= mn p

est la somme d'une fonction rationnelle et d'une fonction I#garithmique des coefficients des fonctions /, F, o et des parametres u0 et u. Pour calculer la valeur de cette expression, on peut, par excmple, decomposer l'integrale I en elements simples, c'est-a-dire :

i° En integrates de fonctions rationnelles de \\

2° En integrales abeliennes de premiere espece;

3° En integrales normales de seconde et de troisieme espece, et calculer, en partant des theoremes connus, les parties de la somme cherchec qui correspondent a chacun de ces elements.

Cette methode parait etre un peu compliquee au point de vue des applications; nous nous proposons, dans ce qui suit, d'etablir une formule simple, qui permettra d'evaluer directement la somme cherchee; nous nous appuierons, dans ce but, sur la theorie des fonctions fuchsiennes, qui nous a deja permis,dans un travail anterieur('), d'etablir le theoreme d'Abel pour les integrales de premiere espece.

Rappelons d'abord quelques considerations, developpees dans ce travail, et qui se deduisent sans difficulte des belles recherches de M. Poincare.

Introduction des fonctions fuchsiennes.

3. Les coordonnees des points d'une courbe algebrique plane, ayant pour equation en coordonnees ordinaires /(£, r\) — o, ou, en coordonnees homogenes (-), f{oc,y, z) = o, peuvent toujours se mettre

(') Application de la theorie ties fonctions fuchsiennes ii V etude des courbes algebriquei {Journal de Malheinatiques pures et appliquees, 1 886) (page 191 du present volume). (-) Dans tout ce qui suit, £ et •/) designeront, des coordonnees cartesiennes ; x, y, z

des coordonnees homogenes : on passera d'un systeme a l'autre en posant % — *-> '/)="-•

OEUVHES DE KEORGES HUMBERT.

sous la forme

Qj» ^3 etant des fonctions thetafuchsiennes holomorphes d'une variable t, et de degre [x; c'est-a-dire telles qu'on ait, en designant par

(t, y^J^J une quelconque des substitutions du groupe fuchsien G qui

correspond a ces fonctions,

en supposant aS — (3y egal a l'unite.

Le polygone fuchsien R0, qui correspond au groupe G, appartient a la premiere faniille de M. Poincare ; il a 4 p cotes ('); les cotes opposes sont conjugues deux a deux, c'est-ii-dire transformes Tun dans l'autre par une des substitutions de G, et la somme des angles est egale a 271.

La courbe representee par les equations (1) est de genre p\ son degre n est egal a 2p.(p — 1) — k, Ic designant le nombre des zeros communs aux trois fonctions 0,, 6,, 03, dans l'interieur du polygone R0.

Rappelons enfin une propriete du polygone R0 qui nous sera utile plus loin. Soient ab et a, b{ deux cotes opposes de ce polygone, tels que les points a, et b, soient respectivement les transformes des points a et b par la substitution de G qui transforme ab en aibi : si Ton decrit le perimetre de R0 en partant de a, clans le sens ab, le cote oppose sera parcouru dans le sens bta,.

Demonstration de la formule fondamentale.

4. Cela pose, rendons l'integrale I homogene en y remplacant c; et yj par ->-> et substituons a x, y, z les valours 0, (t), 63(*), en fonction thetafucbsienne de 1. II vient

, fQ^, r, g) x'z — jcz' J ^-'+2 xr, y', z' designant les derivees de x, y, z par rapport a t.

(.*) Si la courbe/ = o etait unicursale, on aurait recours a des polygones fuchsiens de la premiere famille, de genre zero, et d'nn nombre pair de cotes; les demonstrations seraient les memes que dans le pas general.

SUR LE TTI^ORKME d'abEL. 3 1 5

Posons, pour abreger, On a

i= y K{t)dt.

Je dis que la fonction '£ (t) est une fonction thetafuchsienne de degre un. On peut ecrire en efFet

At)

Or ^ est une fonction fuclisienne de t, de groupe G, puisque le

numerateur et le denominateur sont des polynomes de meme degre q, en x, y, z, et que x, y, z sont des fonctions thetafuchsiennes de

groupe G et de meme degre La fonction - (t) est pour la meme raison une fonction fuchsienne, et Ton a

x fa t + (3^ x

z \y < + o d'oii, en derivant,

xz' / at -f (3\ .r's — .a?~'

Par suite, on a bien

Pour evaluer la somme des integrates I entre les points d'intersection de f—o avec les courbes F — «0<p=o, F = «^ = o, considerons

1'integrale

F et <p etant les polynomes F(.r 7, 3), y (&,y, s)> de degre aw, ou Ton a remplace x,y, z par leurs valeurs en fonction thetaluchsienne de t.

Je dis que la valour de cette integrate, le long du polygone R0, est nulle.

Soient, en effet : / un point quelconqne d'un cote ab, de R0 ; t{ le point corrospondant sur le cote oppose a, bt, transforme de ab par la

substitution (t,

Les elements de I'integrale J qui correspondent a ces deux points stmt, puisque les cotes ab et a, b, sont parcourus en sens contraire, comme on l'a fait rcmarqucr plus haut,

K(t)dt el K{t,)dtx

Or on a

li- t+$> dtx=dt{yt + o)\

D'un autre cote, - (t) est une fonction fuchsienne de t, de groupe G,

puisque F (x,y, z) et 9 (a:, y, s) sont des fonctions thetafuchsiennes de meme degre; il en resulte qu'on a, d'apres ce qui precede :

KitJ.dt, Z(t)dt

et Ton voit que les elements de I'integrale J se detruisent deux a deux. On a done bien, le long de R0,

II resulte de la que la sommc des residus de la fonction uniforme de 1

affs C(0 QA^z — acz!) Q 1 d (x\

0(O=F— ~-n-,-,.2/F \ = — Jt {-)>

dans l'interieur de R0, est nulle.

C'est en evaluant cette somme et en I'egalant a zero, que nous arriverons a la formule que nous avons en vue.

5. Determinons d'abordles infinis de 0 (1). Si Ton observe que cette fonction, mise sous la troisieme forme ci-dessus, est homogene et de degre zero en x, y, z, et par suite ne devient pas infinie pour la valeur

SUR LE THEOHEME n'.\BEL.

de l'un des k zeros communs aux trois fonctions thetafuchsiennes holomorphes x (/), y(t), z (t), on voit que les infinis de 0 (t) sont :

i° Les arguments des rn points communs aux courbes / = o, R= o, a moinsque l'un ou plusieurs d'entre eux n'annulent aussi le numerateur de & (t), mis sous la seconde forme ;

2° Les arguments des points a 1'infini sur f = o : ces arguments sont des infinis d'ordre y-r+a; si q — r + 2 est egal ou inferieur a zero, ils ne sont plus des infinis;

3° Les arguments des points communs a la courbe f— o et a la courbe F — iw= o.

Les residusqui correspondent aux infinis de cette derniere categorie prennent une forme remarquable. Soit a l'argument de l'un des points consideres; on a, pour le residu, en supposant que a soit un zero

simple de - — u,

Or, si dans la relation - (a) — u = o, on considere a comme fonction de u, on a, en differentiant,

en designant par d\% la variation de l'integrale I quand on passe du point d'argument a, de la courbe f — o, situe sur la courbe F — 110 — o, au point d'argument a 4- den, situe sur la courbe F — (u + du) © = o.

d'ou

C (a) dot.

du du

Formule fondamentale.

6. Si done on designe par ^a somme des residus de la fonction

par rapport aux zeros de R [x ( t),y(t), «(*)]; par la somme des residus de la meme fonction par rapport aux zeros de s7-r+2 = o, on aura

d'ou, en integrant par rapport a u, entre les limites u0 et u,

i—mn ^

C'est la formule qu'il s'agissait d'etablir : on voit qu'on est ramene a calculer les residus de la fonction 0(/)> ce <iul ne presente aucune difficulte.

Formes diverses de la formule fondamentale.

7. On peut d'ailleurs mettre cette formule sous une forme un peu plus simple. On a en effet, en coordonnees homogenes,

j f Q (x, y, z) z dx — x dz

R(x,y,z) zi~^ ou

Q et S etant des polynomes homogenes en x, y, z dont les degres sont respectivement q et q + 2. La formule (3 bis) devient alors

i—tnn

m> 2X;"^^(*""-^3)=-2X."''prf"'

en designant par ^a somme des residus, par rapport aux zeros de S(x, y, s) de la fonction

Plus simplement encore, dans le cas ou l'integrale I reste finie pour

SUU LE THEOREM E d'aBEL. 3 I 9

les points situes a l'infini sur la courbe /(£, Y)) = o, on a

i=mn 5 ,

1=1 . ?1 "° en designant par la somme des residus, par rapport aux zeros de S(c;, yi), de la fonction

Q(£, y)) rig

8. Remarque. — II est evident a priori que les expressions ^j(r$-\~~ ry) 011 fig^^nt dans les seconds membres des equations (3), (4) et (6), doiveut etre independantes des parametres qui caracterisent le groupe fuchsien G, et ne dependre que d'elements geometriques appartenant a la courbe f = o.

On peut d'ailleurs s'en rendre compte comme il suit :

Soit le residu de la fonction mise par exemple sous la

forme (7), par rapport a un zero, (3, de S (E, yj), correspondant a un

point £p, Y]p de la courbe / = o.

La valeur de 2-ir?/-p est egale a l'integrale^0(/)^ le long d'un petit

cercle enveloppant le point (3 et, par suite, si Ton passe du plan de la variable t au plan de la variable \, cette valeur est celle de l'integrale

: /•.„,= f«(fi»)J3

J J sa,-n)ia n)u

le long d'un petit contour enveloppant le point £p : elle peut done se calculer, independamment de la variable 1, au moyen des valeurs de y] et des derivees de Y] par rapport a £, au point £p.

Cas particulier de la formule fondamentale.

9. Le cas ou les infinis de la fonction 0 (/), correspondant aux zeros de S, sont tous simples, peut se traiter immediatement.

Supposons, en effet, S etant toujours de degre^-1-2, que la courbe

S = o ne touche en aucun point la courbe f = o. On aura, pour le residu relatif a un infini (3,

dS/F

or,

d'ou

dt \(d

dS dS d\ dSdr, dt ~ dt dt^ dn dt'

df d\ df dn °~ dl dl + dndi'

et, par suite, appelant X,, Y,; X2, Y2, ... les coordonnees des points communs aux courbes S = o, /= o,

i—mn y

/ q \ V f*Q&*)jt V Q(X.Y) ,F(X, Y)-«y(X, (8) Z J J' STIT^T * = 2 Sx/v SV/'X % F (X, Y) — u0 cp ( X,

La somme dans le second membre, doit porter sur les systemes de valeurs de X, Y, qui verifient les equations S = o, /= o.

Consequences analytiques

On peutdeduire de la formule fondamentale plusieurs consequences analytiques interessantes.

10. Les infinis de 1'integrale j'Q (z dx — x dz) sont les points ou

la courbe S = o rencontre la courbe /= o, a moins que les arguments de ces points n'annulent Q ou z dx — xdz.

Supposons que la courbe o(x,y, z) = o passe par les points de / — o, qui sont les infinis de 1'integrale, en tenant compte de leurmultiplicite, c'est-a-dire que, si un point correspond a un zero d'ordre h pour la fonction S [x(t),y (i), z(t)\, la courbe 9 = 0 ait en ce point, avec f=o, un contact d'ordre h—i. Admettons, de plus, que la

SUR LE THEOREME d'abEL. 3?. I

courbe F(x,y, z) = o ne passe par aucun tie ces points. La fonction

ne devient pas infinie pour les valeurs de t qui annulent S, puisque,

pour ces points, la fonclion — (x,y,z) reste finie ; &(t) n'a done pas

d'autfes in finis que ceux qui annulent- — u, et, par suite, les residus r$ sont nuls. On a done

et Ton peut enoncer le theoreme suivant :

Soit I une integrate abelienne quclconque relative a une courbe algebrique f(x,y, z) — o, de degre n. La somme de mn integrates I, dont les limiles inferieures el superieures sont respectwement les systemes de valeurs de x, y, z, qui correspondent aux mn points d' intersection de la courbe f— o avec deux courbes quelconques de degre m, est nulte, si,parmi les courbes du faiscean determine par les courbes secanles, Hen est une qui passe par tons les points de la courbe f — o rendant V integrate infinie.

La somme est nulle, en particulier, si les courbes secantes coupent aux memes points la courbe S = o, parce qu'alors une des courbes du faisceau comprend la courbe S — o elle-meme.

11 y aurait exception au theoreme precedent, si toutes les courbes du faisceau considere passaient par un ouplusieurs des points qui rendent l'integrale infinie, parce que, alors, F et cp s'annulant tous deux en ces points, la fonction %{t) pourrait y devenir infinie et Ton ne saurait affirmer que le residu correspondant, rp, est nul.

11. Le cas ou le denominateur S est divisible par f'y est particulierement interessant : soit S — Tf'Y, T etant de degre q + 3 — n.

Nous allons montrer que la somme de ceux des residus de la fonction &(t), qui correspondent aux zeros de fy, est nulle.

Les zeros de la fonction J'Y (x,y,z) sont en efi'et de deux sortes : les uns correspondent aux points de contact des tangentes qu'on peut

CEUVRES DE C. HUMBERT, T. I.

mener a la courbe / (x, y, z) — o par le point x = o, z = o ; les autres correspondent aux points singuliers tie cette courbe.

Si [3 est l'argument d'un des zeros de la premiere categorie, la fonction x'z — xz' s'annule pour t = (3. On a, en effet,

d'ou Ton tire

,4/ ,*J ,df

dx J dy dz

df df df .

dx J dy dz J

x'z — xz' y' x — yx' z'y — zy'

~dj = df ~ JT~y dy dz dx

et, par suite, si ^ s'annule sans que ^et ^ s'annulent egalement

(c'est-a-dire si le point d'argument (3 n'est pas un point singulier), il faut qu'on ait, pour t = (3,

x' z — xz' — o.

II en resulte que, pour chercher les residus de la fonction

Q(x'.z-xz')

correspondant aux zeros de f 'y , on n'aura a tenir compte que des arguments des points singuliers de la courbe / = o.

Soit, pour plus de simplicity, A un point double de cette courbe, de coordonnees a et b, auquel correspondent les valeurs y et o de l'argument i.

On aura, pour 1c residu de 0 (t) relatif a l'une de ces valeurs, y par exemple, en revenant a la forme (7) de 0 (t),

Uf'nYh

Posons,.pour simplifier l'ecriture,

SUR LE THEOIIEME d'aBEL. 323

on a

[J i ; ~~ d\ di^ On dt

Le rapport ^ a pour valeur, si Ton fait t = y, le coefficient angulaire

~dt

mt de la tangente a la branche y de la courbe / = o au point A. On a ainsi

T(«, b) F ( <ty <ty ^ ^ <ty

ou, dans ^ et on remplace c; et yj par a et

Cela pose, si I'on designe par Q, un polynome quelconque en £ etY], de degre n — 3, et si Ton considere l'integrale

Ji = / -p (z dx — x dz),

on voit, comme plus haut, qu'elle est nulle le long du polygone R0. Si Ton choisit pour Q, le premier membre de ['equation d'une courbe de degre n — 3 presentant, en tous les points singuliers de la courbe f=o, le point A excepte, le caractere d'une courbe adjointe ( 1 ) (ce

qui est toujours possible), les infinis de la fonction ~ ^ — x

seront les quantites y et o. La somme dcs residus de cette fonction etant nulle, on trouve, comme plus haut,

et par suite, d'apres (9),

fy + n = o .

II n'y aurait d'exception a ce raisonnement, qui s'etend sans difficulte au cas des points multiples d'ordre superieur a 2, que si, dans

(') C'est-a-dire ayant en tout point multiple d'ordre p (autre que A) de la courbe /= o un point multiple d'ordre p — r, comme la courbe/^ = o, et ne passant pas par A.

l'expression de /'Y -+- r5, on ne pouvait pas mettre en facteur la quantite

c'est-a-dire siT(«, b) etait nul, cas oil lcs infinis y ct o ne seraient plus des infinis simples de ou si Ton avait a la fois

F(a, b) = cp (a, b) = o,

parce qu'alors la fonction - (£, y] ) aurait deux valeurs differentes au point A, selon la branche decourbe que Ton considererait.

Si Ton suppose done que la courbc T = o ne passe par aucun des points singuliers de / — o, et qu'aucun des points fixes du faisceau F — uy = o ne coincide avec I'uri de ces points, on voit qu'on a la relation

designant la somme des residus, par rapport aux zeros de T, de la fonction de t,

12. Corollaire I. — On en deduit, en s'appuyant sur les resultats obtenus plus haut, la proposition suivante :

Soit I une integrate abelienne de la forme

relative a une courbe algebrique de degre n, f — o.

La somme de mn integrates \dont les limites inferieures et superieures sont respectivement les systemes de valeurs de x, y, z, qui correspondent aux mn points d' intersection de la courbe f — o avec deux courbes quelconques de degre m est nulle, si, par mi les courbes du faisceau determine par les courbes secantes, il en est une qui coupe la courbe f =6 aux points situes sur la courbe T = o, el qui rendent Vinlegralc injinie.

SUR LE THEOREME d'abEL.

II faut toutefois : i° que la courbe =o ne T passe par aucun des points singuliers de la courbe f=o; i° qu'aucun des points fixes du faisceau determine par les courbes secantes ne coincide avec un de ces points, ou avec I'un des points communs aux courbes f = o, T = o, et rendant l'integrale infinie.

13. Corollaire 11. — Supposons, Q ( r, y, z) etant toujours de degre q, que T(x, y, z) soit un polynome de degre q — n-h3, non divisible pars. Si la courbe T = o nc touche en aucun point la courbe f — o, les zeros de T (x, y, z) seront tous simples, et Ton aura, pourle residu relatif a l'un de ces zeros, [3,

r r qa "j r o i

[/^(n/i'-TU(^-«)Jp Lcxfej^— X5,y«>(|— <r)Jp

Par suite, en designant par X, Y les coordonnees d'un point commun aux courbes T = o, f=o, il vient

f,0 V C QCzrr>) ^-V 0(X»Y) ■ F(X,Y)-«<p(X,Y) ZtA* fiT&v) ""^'JV'y-T'v/x' °°F(X,Y) — «i<p(X,Y)'

la somine s'etendant, dans le second membre, aux systemes de valeurs de X, Y, qui verifient simultanement les equations f= o, T = o.

On deduit de cette formule un tbeoreme bien connu de Jacobi. Si Ton fait, en effet, u= oo dans la formule, il faut, pour que le second membre reste fini, qu'on ait 1'identite

la somme etant etendue a tous les points communs aux courbes /(£, y)) = o, T(£, -f]) = o, de degres respectifs n et k, et Q(£, yj) designant un polynome quelconque de degre n-+-h — 3, au plus, en £, r\.

11 serait facile, d'apres les considerations qui precedent, de voir ce que devient le theoreme de Jacobi quand le degre de Q surpasse n-\-h— 3 ; nous aurons occasion, dans un autre travail, de revenir sur ce sujet a un point de vue plus general.

3a6 OEUVRKS DE GEORGES HUMBERT.

14. Corollaire III. — Si T se reduit a une constante, ^7P est nu^> et Ton peut enoncer le theoreme suivant : Soil I une integrate abelienne de la forme

illative d une courbe Y)) = o, de degre n, Q designant un polynome quelconque de degre n — 3.

La somme de mn integrates I dont les limites in ferieures et superieures sont rcspectivement les systemes de valeurs de%,Y\, qui correspondent aux points d' intersection de la courbe f=o avec deux courbes quelconques de degre m est nulle, si ces deux courbes ne passent simullanement par aucun des points singuliers de la courbe primitive.

Dans le cas special ou Q est une courbe adjointe a la courbe J—o( la fonction

£\ i .\ Q dl

i) = 77v — \ji Hi-")

ne devient infinie que pour les zeros de - — u, et la somme des mn integrales I est nulle, quelles que soient les courbes de meme degre F = o, ? = o.

C'est le theoreme d' Abel pour les integrales de premiere espece. On retrouverait de meme, sans difficulte, les theoremes connus pour les integrales normales de troisieme et de seconde espece.

Application aux fonctions rationnelles.

15. La marche qu'on a suivie pour etablir la formule fondamentale s'applique egalement au cas ou la differentielle abelienne est la differentielle d'une fonction rationnelle de 2j, yj.

Soit U = ^l^j-j cette fonction, Q et R etant des polynomes de

degres q et r respectivement.

Considerons l'integrale

rdv

J ~di F

SUR LE THEOREME d'aBEL. 32^

Elle est nulle, d'apres ce qui precede, le long du polygone R0; par suite, les residus, dans ce polygone, de la i'onclion

. . aV 'i dt * dt

ont une somme nulle, et Ton en conclut, comme plus haul, la relation

rp etant le residu de Q(t) par rapport a un infini de cette fonction,

autre qu'un zero de - — u.

Pour determiner les infinis de cette nature de 0 (t), on doit distinguer deux cas, selon que q est inferieur ou superieur a r.

Si Ton a q 5 r, il est clair que la fonction ^ ^ ] == 2 ^x,y" " \ zr~q ne . . R(?»;o) r, z)

devient pas infinie pour les zeros de .s(j), et il en est, par suite, de

meme de sa derivee par rapport a t. En ce cas, les infinis correspond

dant aux residus r$ sont les arguments des points communsaux courbes

f = o, R = o. Si Ton a, au contraire, q^> r, tout zero de z (t) est, en

general, un infini d'ordre^ — r pour la fonction S, et d'ordre^ — r-h i

pour sa derivee. Ces infinis sont a ajouter a ceux qui proviennent des zeros de R (£, y]).

II est clair qu'on discutera a la fois les deux cas en supposant £ et r\ remplaces dans^(^, ri) par-> on obtient ainsi une fonction 3[x^'"]t

ou Ton peut supposer que le numerateur et le denominateur sont deux polynomes de meme degre, q, l'un ou l'autre pouvant etre divisible par une puissance de z. Les infinis de @(t) correspondant aux residus rp sont alors les zeros de V(a?, v, z). Soit [3 un de ces zeros, suppose simple : e'est un infini double de ©(*)• Pour calculer le residu correspondant, il suffit de remarquer que le residu de relatif a ce zero, est nul, puisque U est une fonction monodrome de t. On trouve ainsi, evidemment,

pp etant le residu correspondant de U = ^- Or on a, ainsi qu'on l'a deja trouve plusieurs fois,

en designant par X, Y,ZIes coordonnees du point d'argument [3, commun aux courbes f= o, V = o, et il vicnt enfin

? ( Fx /v — F y/x ) — F ( cp'x /v — cp'v/\ )

cp'y ?z

On peut ecrire 9 (Fx/i - Fv/i)-F (9'x/v - ?'v/x)=-

en tenant compte de la relation /(X, Y, Z)==o et en designant toujours par m le degre des courbes F = o, cp = o.

On deduit de la, en integrant, par rapport a u, les deux membres de (12), le resultat suivant.

Soient 2"v ^ 2 v ^es somrnes respectives des valeurs que prend la

fonction ^ y, -) aux points communs a la courbe f—o et aux courbes F — <p o, F — i70<p = o ; on a

m V'x/v \'v/x [F(X,Y,Z)-Mcp(X,YIZ)][F(X)Y,Z)-«0?.(X,Y,Z)]

oil la somme, dans le second membre, s'etend aux points X, Y, Z, communs aux courbes f=o, V = o, supposees n'avoir aucun contact, et oil J designe le determinant jacobien

fk /v fi

Fx F'v Fz

fpx cp'v 9z

Cette formule montre, ce que nous savions deja par la tbeorie generale, en raison de la forme de ®(t), que le second membre de (i3) s'annule dans le cas ou l'une des courbes, <p — o, du faisceau F — uz> touche la courbe f = o aux points oil celle-ci est coupee par la courbe