SUR LE THEOREME D A BEL
V = o; elle met de plus en evidence une particularity speciale aux integrals abeliennes dans le cas oil ces integrales sont des fonctions rationnelles de a?, y, z : c'est que le second membre de ( i 3) esl mil quand la jacobienne des courbes F = o, o = o et /— o passe par les points communs a cette derniere et a la courbe V= o, c'est-a-dire, puisque les points communs a la jacobienne et a / sont les points de contact avec cette derniere courbe des courbes du faisceau F — u<p qui la toucbent, lorsque les courbes du faisceau qui passenl respectivement par les points d'intersection des courbes V = o, f= o toucbent en ces points cette derniere courbe.
Onvoitque ce resultat comprend, comme cas particulier, le cas rappele plus haut, oil Vane des courbes du faisceau touche fen tons les points communs aux courbes f= o, V = o.
On peut etendre ce theoreme au cas oil la courbe V — o touche en certains points la courbe f — o : nous al Ions deniontrer, en ell'et, la proposition suivante :
La somme des valeurs que prend une fonction ralionneile ^ {x, y, z)
homogene et de degre zero, aux points communs a une courbe altiebrique J = o, el a chacune des courbes d\m faisceau, resle constante, si les courbes du faisceau qui passenl respectivement par les points (/'intersection des courbes f=o, V = o, rendant la fonction ^ in/inie, out,
enchacunde ces points avec la courbe f =o, un contact d'un ordre au moins egal a la difference entre les ordres des contacts de la courbe f = o avec les courbes V = o et Q = <> au point considere ( 1 ).
On suppose toujours qu'aucun des points fixes du faisceau ne coin-' cide avec un des points communs aux courbes f = o, V = o, et rendant
infinie la fonction
Soit l'argument d'un point oil les courbes V = o, Q = o out respectivement avec f=Q des contacts d'ordre [/. — 1 et v — i; soit
Cj Si la courbe Q = o nc passe pas par le point considere, on devra, pour appliquer le theoreme, regarder 1' ordre de son contact avec f=o en ce point comme egal a — i. II faudra alors que la courbe du faisceau qui passe par ce point y ait avec /= o un contact plus eleve que la courbe V = o.
F— / v-p = ° 1'equation d'une courbe du faisceau, ayant en ce point un contact d'ordre u. — v avec la courbe /= o.
Posons I — (J 5= t.
On a
dl \ V / F
CD
Par hypothese, on a, aux environs du point / — f$;
V(<)==a*fl ~H bx^ + . . ., Q(0 = a':v+4':v+1 + ...,
d'ou
on a egalement
F(0 — </«9(0 = 'fM '-f- mTf* v+! + . . .,
et le residu correspondant de 0(/) sera le coefficient de - dans Fexpression
d7 \ T^-v TlJ■-v-, + ' ' " + 7 + ? + ' ' ' / X /Tft-V-+-1 mT|J.-v + 2 + . . . "
Or, cp (/) n'est pas nul pour / = J3, puisqu'une seule courbe du faisceau passe par le point (3, et qu'on a suppose que cette courbe etait
Le deuxieme facteur de l'expression precedente, ordonne suivant les puissances croissantes de t, est done de la forme
+ A-7^-v+1-Hy'7tJ-v-+-2 + . . .,
et comme le premier ne renferme ni terme en -ni terme en ^v+i> le residu est nul. c. q. f. d.
1. On peut donner une formule analogue pour exprimer le produit is valeurs que prend la fonctio f— o et a la courbe F — u <p — o.
des valeurs que prend la fonction y aux points communs a. la courbe
